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Challenge n°125**

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
01-11-05 à 10:07

Bonjour, nouvelle énigme :

L'île vient de se doter d'un nouveau radar pour surveiller les flux d'aviations au-dessus d'elle. Dans un soucis de simplification, le vendeur de ce radar a symbolisé l'île comme étant un pentagone, et en un autre pentagone, le champ d'action du radar qui tourne sur lui-même placé au centre de l'île, comme sur le schéma joint ci-dessous. T_P, soucieux du réel intéret que pourrait apporter un tel financement, demande au vendeur :
"Quel est, au maximum, le pourcentage de la surface de l'île couverte par la zone de détection du radar, en gris sur la figure ?"

Le vendeur fait appel à vous, pouvez-vous l'aider ? cela vous ferait pas plaisir de recevoir de la famille par avion de temps en temps sur l'île ?

Réponse arrondie à l'entier supérieur.

Bonne chance à tous

Challenge n°125

Posté par goupi1 (invité)rép challenge 125 01-11-05 à 12:56

gagné32%
en fait (10-rac5)/.25=environ 0.31055728 ou 31.055% soit 32% arrondi à l'unité supérieure (en supposant que les 2 pentagones soient les mêmes).

Posté par sof (invité)re : Challenge n°125** 01-11-05 à 13:05

je pense que c'est 32 pour cent

Posté par paulette (invité)re : Challenge n°125** 01-11-05 à 13:08

je ne suis pas sure de ma réponse car dans les applications numériques je me suis servie de résultats tronqués et de valeurs approchées je dirai à tout hasard 32 pour cent

Posté par
sebmusik
re : Challenge n°125** 01-11-05 à 13:15

perduje dirais que la zone de detection recouvre au maximum 34% de l'île.

Seb

Posté par
castelu
re : Challenge n°125** 01-11-05 à 13:54

perdu1/8 AU HASARD

Posté par
borneo
re : Challenge n°125** 01-11-05 à 14:03

gagnéJe trouve une aire maximale approximative de 31 et des poussières que je suis vraiment mal à l'aise d'arrondir à l'entier supérieur... mais comme je n'ai pas fait d'approximations dans mon calcul, ça fait 32 %

ps si je viens sur l'île, ce sera en bateau... j'ai la phobie de l'avion.

merci pour l'énigme.

Posté par jams (invité)re : Challenge n°125** 01-11-05 à 14:41

perduJe me lance mais je suis pas du tout sûre de moi !
Je dirais qu'au maximum le radar couvre 30% de la surface de l'ile
ce qui me fais hésiter c'est la phrase :"Réponse arrondie à l'entier supérieur." car pour moi la valeur est exact.
En plus j'ai déterminé le max de manière un peu empirique donc j'ai très bien pu me tromper.
Donc je pense que le poisson n'est pas très loin !!

Posté par pietro (invité)re : Challenge n°125** 01-11-05 à 15:09

Je ne trouve pas mieux que 31,055...%, après avoir examiné 3 positions relatives particulières des pentagones.
En arrondissant vers le haut, je réponds donc trente-deux pourcents.


Challenge n°125

Posté par
manpower
re : Challenge n°125** 01-11-05 à 15:14

perduBonjour,

Les radars ne couvrent-ils pas une zone circulaire ?
Sinon, dans ce cas présent pour avoir une couverture totale et permanente de l'île, il faudra le placer à un des sommets de l'île...

On cherche à maximiser l'aire de recouvrement des deux pentagones.
Je l'ai découpée en 4 triangles rectangles (voir première figure).
On sait que les angles au centre d'un pentagone valent \frac{360^o}{5}=72^o donc les angles du pentagone valent 180^o-72^o=108^o.
Je note enfin a l'apothème et c le côté du pentagone.
Les aires des deux grands triangles rectangles sont fixes (et valent ac/4).

Les deux autres triangles ont pour hauteur encore l'apothème et pour base atan\alpha et atan\beta.
La somme de leurs aires vaut ainsi \frac{a^2}{4}(tan\alpha+tan\beta).
Or \alpha+\beta=108^o-72^o=36^o.
On est donc ramené à maximiser tan \alpha + tan(36^o- \alpha)0^o\le\alpha\le 36^o.
La solution impose \red \alpha=0^o (ou \alpha=36^o ce qui revient au même par symétrie des angles dans l'ensemble du problème).

Ainsi, on est dans la seconde situation i.e. les quatre triangles ne sont en réalité que 3.
Le découpage du pentagone en 10 triangles équilatéraux semblables, donne alors sans calcul le rapport d'aires demandé.
Conclusion: La fraction de l'île recouverte au maximum par la zone de détection du radar est exactement de \frac{3}{10}, soit un pourcentage (exact) de 3$ \rm \red 30%.

Merci pour l'énigme.

Challenge n°125

Posté par
Nofutur2
re : Challenge n°125** 01-11-05 à 15:29

gagnéTout d'abord, on suppose que :
* Les pentagones sont réguliers et identiques
* La longueur du centre à l'un des sommets du pentagone fait 1, pour simplifier les calculs
On travaillera sur les triangles T, reliant le centre à 2 sommets consécutifs du pentagone. (Angle au centre de 72°).

On distingue alors 2 cas: le pentagone radar coupe 2 aretes consécutives ou non.
* 2 aretes consécutives :
Pour calculer l'aire dans ce cas, on calcule l'aire de 2 triangles T, à laquelle on retire la différence entre les triangles et la partie grisée. La variable sera l'angle entre l'un des cotés de T issu du centre et l'un des cotés du pentagone issu du centre.
En dérivant, on voit que cet angle doit valoir 18° pour que l'aire soit maximale dans ce cas.
Ce qui donne une aire de : cos(36).(sin(36)+cos(36).tan(18)) = 0.6882 environ

* 2 aretes non consecutives :
Dans ce cas, un triangle T est plein. On calcule alors l'aire des 2 autres triangles partiellement grisée. Par une méthode équivalente à la précédente (en sachant que l'angle doit etre nécessairement compris en 0 et 36°), on trouve encore un angle de 18° pour l'optimum.
Soit une aire maximum dans ce cas de : cos(36).(2*sin(36)-cos(36).tan(18)) = 0.7384 environ

Le 2° cas est donc meilleur. L'aire totale de l'ile étant de 2.33776, le pourcentage maximum est de 31,05 % soit 32% arrondi à l'entier supréieur.

Posté par
chada lach
*challenge en cours* 01-11-05 à 15:34

perdu           *challenge en cours*

Posté par
Bcracker
re : Challenge n°125** 01-11-05 à 16:54

perduBonjour,

Pour les réponses, se reporter à la figure(qui se situe à la fin)

Je tente :


Le pourcentage de la surface de l'île couverte par la zone de détection du radar est d'environ 34 %

Démonstration :

Soit ABleue l'aire de la surface bleue.
AVerte l'aire de la surface verte (L'aire que l'on cherche).
AJaune l'aire de la surface jaune.

On calcule  ABleu en fonction de a, h et c :

ABleu= \frac{2a(h-c)-4a(h-c)}{8}
Remarque :Si on calcule en fonction de a et de h, ABleu est aussi égale à \frac{3ah}{8}

On calcule AJaune

AJaune=\frac{a+2a(h-c)}{8}

     AVerte= ABleu - AJaune
  
     AVerte= \frac{2a(h-c)-4a(h-c)}{8} - \frac{a+2a(h-c)}{8}              
     AVerte= \frac{a}{8}

Soit P la surface de l'île couverte par la zone de détection du radar (en %)

P = \frac{\frac{a}{8}}{\frac{3ah}{8}}\times 100
En simplifiant, on obtient P= \frac{1}{3}\times 100

Donc P \approx 34 %

Le pourcentage de la surface de l'île couverte par la zone de détection du radar est d'environ 34 %

Merci pour l'énigme

Challenge n°125

Posté par
piepalm
re : Challenge n°125** 01-11-05 à 19:15

gagnéSoit un pentagone régulier ABCDE inscrit dans le cercle unité de centre O; son aire est 5 fois celle du triangle OAB qui vaut (1/2)sin(pi/5)=0,4755 soit environ 2,378 pour le pentagone.
La parallèle à AB passant par O coupe BC en F et AE en G; le triangle OBF est isocèle de sommet F, d'angle au sommet 2pi/5. Idem pour le triangle OAG, isocèle de sommet G. l'aire de ces triangles est égale à (1/4)tan(3pi/10=0,3441 soit 14,47% de l'aire du pentagone.
La surface couverte est maximale quand les cotés du pentagone tournant du sommet O sont parallèles à AB et AE, A n'étant pas couvert, et minimale, quand les cotés du pentagone tournant du sommet O sont parallèles à AB et AE, A étant couvert.
La surface couverte est ainsi 60-2*14,47%=31,05% au maximum et 2*14,47=28,95% au minimum
Le maximum arrondi sera donc de 32%

Posté par
franz
re : Challenge n°125** 01-11-05 à 21:32

gagnéRéponse :
\Large \red 32 % (arrondi bizarre de {\frac{2}{5}} - {\frac{1}{5\,{\sqrt{5}}}}\approx0,310557)

Posté par hervé (invité)pentagones 02-11-05 à 01:15

perdu30%

Posté par
jacques1313
re : Challenge n°125** 02-11-05 à 07:54

gagnéJe détaillerai éventuellement plus tard mais je trouve que le pourcentage vaut environ : 31,0557.
Donc si on “arrondit” à l'entier supérieur, ça fait 32 %.

Posté par jams (invité)re : Challenge n°125** 02-11-05 à 11:51

perduça y'est je viens de me rendre compte que je me suis planté en cherchant le max (une étourderie de plus) !
donc ma réponse est fausse l'aire max est strictement supérieur à 30% de l'ile ! Je prend donc un poisson très mérité pour commencer le mois ! c'est bien parti !

PS: j'ai la flemme de refaire le calcul de toute façon je suis sûre que d'autres candidats plus conciencieux vont, à n'en pas douter, fournir la bonne réponse.

Posté par
lanageuse56
j ai peut etre la reponse 02-11-05 à 18:47

perduPuisque le radar tourne sur lui meme alors il couvre 100% de la surface de l'ile

Posté par levrainico (invité)re: Challenge n°125 02-11-05 à 22:54

perdusalut a tous,
ca m'emmbete de dire ca alors qu'on doit donner une Réponse arrondie à l'entier supérieur
mais il me semble que c'est exactement 30%
bref, ma réponse est 30%
merci

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°125** 03-11-05 à 09:20

gagnéBonjour,

Réponse proposée : 32 pourcentage arrondi à l'entier supérieur

Valeur réelle : 40 - 4 5

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°125** 03-11-05 à 09:49

gagnéRe

Si on partage le pentagone de l'île, P1, en 10 triangles égaux d'ouverture angulaire au centre de 36° et d'hypothénuse de longueur 1, il apert que le pentagone P2 du radar occupera au moins 3 de ces triangles car l'ouverture angulaire d'un sommet du pentagone fait 108°=3*36° => 3 triangles.

Il reste maintenant à vérifier si, au cours d'une rotation de 36°, la couverture angulaire de P2 occupe plus de 3 triangles ou non.

Je dois avouer que, dans un premier temps, j'ai bien cru que cette couverture surfacique était constante et valait 30%.

Au cours de cette rotation de 36°, P2 recouvre P1 sur au moins 2 triangles (20%); analysons, selon l'angle de rotation x, la couverture des 2 triangles adjacents :

La surface couverte sur le premier triangle de surface T vaudra : T(1-tgx/tg36).

La surface couverte sur le second triangle de surface T vaudra : T(1-tg(36-x)/tg36).

La surface ajoutée aux 2 triangles sera donc A=T(2-(tgx+tg(36-x))/tg36))

Pour des raisons de symétrie, cette surface sera maximale pour x=36°/2=18°

d'où A=T(2-2tg18/tg36) et comme tg36=2tg18/(1-tg²18) =>A=T(1+tg²18)

et comme tg18=1/V(5+2V5) => A=T(1+tg²18)=T(2-2/V5)

La surface maximale sera donc de 2+2-2/V5=4-2(V5)/5 triangles

soit, en pourcentage, en divisant par 10 triangles et en multipliant par 100 :
100( 4-2(V5)/5 )T / 10T = 40 - 4V5 = 31,055728090000841214363305325075

qui, arrondi à l'entier supérieur (pourquoi pas inférieur d'ailleurs ?) fournit 32

Le nombre d'or est là-dessous avec ses triangles d'or du pentagone ...

Philoux



Posté par sofyanekasunet (invité)re : Challenge n°125** 03-11-05 à 11:36

gagné32 pour cent

Posté par Evariste Galois (invité)re : Challenge n°125** 03-11-05 à 23:40

gagné32 pour cent

Posté par
Youpi
re : Challenge n°125** 04-11-05 à 00:21

gagnéje trouve 32% !

Posté par Babou14 (invité)re : Challenge n°125** 04-11-05 à 09:05

37%

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°125** 04-11-05 à 13:17

Merci à tous de votre participation, la bonne réponse était 32%.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 20:27:26.


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