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Niveau 2 *
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Challenge n°145**

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
07-01-06 à 12:37

Bonjour, nouvelle énigme :

Le crayon toujours taillé, Youpi s'amuse à dessiner un rectangle et un losange. C'est alors qu'il s'apercoit que les périmètres de ses deux quadrilatères sont égaux, mais qu'ils ont également la même aire. De plus, les longueurs des côtés du rectangle et des diagonales du losange sont des nombres entiers de centimètres.

Quel est le plus petit périmètre possible du rectangle de Youpi ?

Bonne chance à tous !

Posté par Pierre Carré (invité)Challenge n° 145 07-01-06 à 13:07

perduBonjour !

Le plus petit périmètre possible pour le rectangle de Youpi est 24 cm.

Au plaisir.

Posté par
Nofutur2
re : Challenge n°145** 07-01-06 à 13:12

gagnéLes côtés du rectangle sont 3cm et 2cm.
Les diagonales du losange sont de 3cm et 4 cm.
Le plus petit périmètre possible du rectangle est donc de 10 cm et  son aire de 6 cm2.
Idem pour le losange.

Posté par
manpower
re : Challenge n°145** 07-01-06 à 13:51

gagnéBonjour,

En notant a et b les côtés du rectangle c le côté du losange et d,e les longueurs de ses diagonales, on a les périmètres et aires suivants:
Pour le rectangle: p_1=2(a+b) et A_1=ab
Pour le losange: p_2=4c et A_2=\frac{de}{2}

D'où 2(ab+)=4c et 2ab=de.
2(a+b)=4c=4sqrt{\frac{d^2}{4}+\frac{e^2}{4} (par Pythagore)
puis (a+b)^2=d^2+e^2 (en élevant au carré après simplification).
Le problème passe donc par la recherche du plus petit triplet Pythagoricien (d,e,f) tel que f^2=d^2+e^2 avec f=a+b.
Le plus petit triplet entier est (3,4,5) et celui-ci convient d'emblée.
En effet, d=3 et e=4 donne a+b=5 et vérifie la condition d'égalité d'aires.
Par ailleurs la condition d'égalité des périmètres donne 2ab=3\times4=12 i.e. ab=6 sous la contrainte a+b=5,
donc a et b sont les solutions du trinôme de second degré x^2-5x+6=0, soit a=2 et b=3 (par exemple).

Conclusion: Il existe une unique solution minimale.
Les côtés du rectangle mesurent 2cm et 3cm et les diagonales du losange (de côté 2,5cm) mesurent 3cm et 4cm (tous entiers).
Enfin le périmètre commun du rectangle et du losange vaut 3$ \red \rm 10cm.


Posté par
geo3
re:Challenge n°145 07-01-06 à 13:57

gagnéBonjour
Si on appelle D,d,c les diagonales et côté du losange , L et l les côtés du rectangle on doit avoir D.d = 2.L.l,  4c = 2L + 2l ou 2c = L + l
or 4c²= D² + d² => D² + d² = (L + l)² mais les plus petits nombres qui vérifient la somme de 2 carrés = 1 carré sont 3, 4, 5
Donc D=4, d=3 et L+l = 5 et le plus petit périmètre du rectangle =4$\red\fbox{10
A plus: geo3 :

Posté par
vince909
re : Challenge n°145** 07-01-06 à 14:08

gagnéBonjour,

Compte tenu des contraintes, je trouve un périmètre minimal de 10 cm.

La grande diagonale du losange fait alors 4 cm, la petite diagonale fait 3 cm.
Le grand côté du rectangle fait 3 cm, et le petit côté 2 cm.

L'aire des deux polygones est alors de 6 cm2 et le périmètre donc de 10 cm.

Posté par
caylus
Challenge n°145 07-01-06 à 14:41

gagnéBonjour,

Les plus petits triples de Pythagore sont (0,0,0), (0,1,1),(3,4,5)
Les deux premiers sont à exclure car les figures sont ponctuelles ou linéaires.

Donc, le plus petit périmètre possible du rectangle de Youpi est \fbox{10}.

Posté par wiat (invité)re : Challenge n°145** 07-01-06 à 14:49

Bonjour à tous. Le plus petit permiètre possible est 20 cm.

Posté par Dal (invité)re : Challenge n°145** 07-01-06 à 14:59

gagnéLe périmètre minimal est de 10 cm.

Posté par
borneo
re : Challenge n°145** 07-01-06 à 15:46

gagnéOn met tout ça en equation et on remarque que les diagonales sont des triplets de pythagore avec le demi périmètre du rectangle. Bref, le plus petit périmètre est 10 centimètres.
merci pour l'énigme

Posté par goupi1 (invité)Challenge n°145 07-01-06 à 17:41

gagnéBonsoir
Pmin = 10

Posté par
piepalm
re : Challenge n°145** 07-01-06 à 19:54

gagnéSi a et b sont les cotés du rectangle , c le coté du losange, d et e les diagonales du losange on a donc a+b=2c, ab=de/2 et d²+e²=4c²=(a+b)²
La solution minimale est a=2cm, b=3cm, c=2,5 cm, d=3cm, e=4cm ce qui donne un périmètre de 10 cm (puisqu'il n'est dit nulle part que le coté du losange est un nombre entier de cm)

Posté par
cissou3
re : Challenge n°145** 07-01-06 à 20:22

gagnéje pense que le périmètre du rectangle vaut 10 cm

j'ai pris : L et l les cotés du rectangle avec l=2cm et L=3cm
               D et d les diagonales du losange avec d=3cm et D=4cm

Posté par
Youpi
re : Challenge n°145** 07-01-06 à 20:27

gagnéJe pense que le périmètre minimum est de 10cm.
dans ce cas le rectancgle fait 3x2 et les longueurs des diagonales du losange font 3 et 4 cm
dans ce cas l'aire des deux quadrilatère est de 6cm2

Posté par
franz
re : Challenge n°145** 07-01-06 à 21:53

perduLe périmètre du rectangle mesure au minimum 20 cm

Posté par
infophile
re : Challenge n°145** 07-01-06 à 22:01

gagnéBonjour

5$ \rm \blue le plus petit perimetre possible du rectangle de Youpi est 10 cm

Posté par confucius (invité)re : Challenge n°145** 07-01-06 à 23:01

10 cm

Posté par
gillesmarseille
re : Challenge n°145** 08-01-06 à 02:56

gagnébonsoir,
le plus petit perimètre possible est 10 centimètres.

Posté par hervé (invité)losangle 08-01-06 à 07:22

gagnéJe trouve 10 cm.
A+

Posté par savoie (invité)20 cm 08-01-06 à 09:52

perdu20 cm

Posté par
atomium
Challenge n° 145. 08-01-06 à 18:18

gagnéBonjour à tous,

Le plus petit périmètre de ce rectangle est de 10 cm.

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°145** 08-01-06 à 19:07

perduBonjour,

Réponse proposée : 260 cm (sans garantie)

Méthode : Excel

Merci pour l'énigme, un bonjour à Youpi (un p'tit lapsus calami l'a masculanisée... )

Philoux

Challenge n°145

Posté par papou_28 (invité)réponse 08-01-06 à 19:30

gagnéIl faut résoudre le sytème de deux équations à quatre inconnus :
p , q les longueurs des deux diagonales du losange
y et z les longueurs du rectangle
p²+q² = (z+y)²
pq=2yz

J'ai fait un ptit programme en python qui fait varier les valeurs de p,q,y,z de 1 à 5:
J'ai trouvé dans l'odre p,q,y,z:
3,4,2,3 ( et toutes les autres permutations entre p et q ; y et z)
Bilan y=2 et z=3
d'où le périmètre du rectangle est 10cm²



Posté par
jacques1313
re : Challenge n°145** 08-01-06 à 19:34

gagnéL et l respectivement largeur et longueur du rectangle.
d1, d2 les diagolanes du losange, de côté c.

On a :
L+l=2c
2×l×L=d1×d2
d1²+d2²=4c²

On a c=\frac{1}{2}\sqrt{d1^2+d2^2}
Les valeurs minimales de d1 et d2 pour que c soit rationnel et valide pour le problème sont 3 et 4 (sauf erreur de ma part). D'où c=5/2.
D'où le périmètre : 2(L+l)=4c=10 cm.

Posté par kyrandia (invité)re : Challenge n°145** 09-01-06 à 11:04

gagnébonjour,

plus petit périmètre possible du rectangle de Youpi : 10 cm

Posté par majuju (invité)re : Challenge n°145** 09-01-06 à 18:56

gagnéBonsoir,

je pense que le pus petit périmètre possible pour le rectangle est 10 cm

dans ce cas:
diagonales du losange: 4 et 3 com
aire du losange: 6cm²
coté du losange: 5/2 cm par pythagore
Coté du rectangle: 2 et 3 cm
Aire du rectangle: 6 cm²
Périmètre des deux figures: 10 cm

Je pense que c'est la solution "minimale" car on doit avoir a²+b²=(L+l)²  ou A et b sont les mesure des diagonales du losange, et L et l les longueurs des cotés du rectangle. On cherche donc le plus peit carré somme de 2 carrés, c'est 25 = 16 + 9.

merci

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Challenge n°145** 10-01-06 à 01:16

perduBonjour,

Je reve ! J'ai cherche tres longtemps sans trouver de reponses jusqu'a ce que je m'apercoivre que le produit des diagonales du losange n'etait pas egale a son aire mais a deux fois son aire !

J'ai donc finalement trouve (enfin je crois)

Les dimensions du quart de losange forment un triplet pythagoricien. Le plus petit est (3;4;5).

Et ca marche avec un rectangle de 6 sur 4 et les diagonales du losange qui mesurent 8 et 6.

L'aire est 24 et le perimetre est 20.

Le plus petit perimetre possible du rectangle de Youpi est donc 20.

Posté par
gloubi
re : Challenge n°145** 10-01-06 à 10:36

gagnéBonjour,
Le périmètre du rectangle est de 10 centimètres.
côtés du rectangle: 3 cm et 2 cm,
diagonales du losange: 4 cm et 3 cm, soit des côtés de 2.5 cm

@+

Posté par rahmane (invité)re : Challenge n°145** 10-01-06 à 19:26

perdule plus petit perimetre c'est 6cm

Posté par
Rouliane
re : Challenge n°145** 11-01-06 à 15:56

gagnéJe trouve que le plus petit périmètre possible pour le rectangle de Youpi est 10 cm

cela correspond à un rectangle ayant pour largeur 2cm et pour longueur 3cm.

Le losange correspondant a alors des cotés de longueur a=2.5cm
Ses diagonales ont pour longueur 4cm et 3cm, donc sont bien des valeurs entières.

Le périmètre du rectangle est 2(L+l)=10cm
le périmètre du losange est 4a = 10cm
L'aire du rectangle est L*l = 6 cm²
l'aire du losange est 2*OA*OB ou O est le centre du losange, c'est à dire l'aire est 2*2*1.5=6cm²

On obtient bien un losange et un rectangle qui ont la même aire et el même périmètre, dont les longueurs respectiveement des cotés et des diagonales sont entières.

Merci pour l'énigme

(en espérant que la réponse n'est pas 6cm)

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°145** 11-01-06 à 20:37

Merci à tous de votre participation !

Posté par
Rouliane
re : Challenge n°145** 11-01-06 à 23:24

gagnéMon premier , j'en suis tout ému

Posté par
borneo
re : Challenge n°145** 11-01-06 à 23:33

gagnéPersévère, car ce mois-ci, il y a tant de poissons que même avec un smiley, on peut être classé.

Posté par
Anthony
re : Challenge n°145** 11-01-06 à 23:43

Ha oui, bas moi j'ai eu 2 jolis poisson contre 1 smiley = retour à la case départ

mais je persévère car 2 smileys et hop ! dans le classement ( enfin pour le moment )

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : Challenge n°145** 12-01-06 à 20:00

perduBonjour,

Ah ben oui forcement quand on se dit que pour que le perimetre du losange soit entier il faut que les cotes le soient aussi...

Bien sur je l'avais ce plus petit triplet pythagoricien et je l'ai mis pour les demi diagonales. Le plus drole, apres reflexion, c'est que mon perimetre trouve etait divisible par 2 et l'aire par 4 donc une reduction de rapport 1/2 etait possible... Ha Ha Ha

minkus

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 22:41:06.


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