Salut à tous !

Je pense qu'il existe une infinité de nombres renversants : pour en trouver un, il suffit d'additionner 2 multiples d'une puissance de 10 : par exemple 2 et 50.
Le plus proche de 2006 devrait donc être 2005.

Merci pour l'énigme !

Grillé Chaudrack ...

Mes réponses sont:

il y'en a une infinité
Le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005

En effet, on se rend compte, que pour 2 nombres a et b tels
que leurs somme < 10, alors on doit avoir

a x b= 10 soit comme solution 2 et 5.

Ensuite, pour 2 nombres a et b dont la somme < 100, on doit avoir

a x b = 100 soit comme solutions 20 et 5, 25 et 4, 10 et 10, 50 et 2, etc...

Puis il en est de même jusqu'à  toutes les puissances de 10...

Il y'a donc une infinité de solution...

Enfin, 2005 (2000+5 et 2000*5 = 10000) est de toute évidence le nombre le plus proche de 2006 qui soit renversant!

Merci pour l'énigme bien sympatique

A plus

Chnaty, (et j'invite tous les habitants de l'ile à l'appeler comme ça, elle adore....)

Tu m'as grillé cette fois...Respect! J'espère néanmoins que ta réponse est correcte.

Bonjour,
Il y a une infinité de nombre renversants.
Le nombre le  plus proche de 2006 est 2005.
Merçi pour ll'énigme.

Bonjour,

Je trouve qu'il y a une infinité de nombres renversants.
En particulier, sont renversants tous les nombres sommes de (avec entier ) et de 5.

Le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005 car et . À noter que 2006 lui-même n'est pas renversant.

Merci pour le challenge.

Il y a une infinité de nombres renversants.
En particulier les nombres de la forme N=2*10^(2n-1)+5 avec a= 2*10^(2n-1) et b=5
En effet : 1/a=5*10^-2n et 1/b=0,2 .
Le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005.
En effet, 2005=2000+5 et 0,2005 = 0,0005 + 0,2 = 1/2000 + 1/5

Bonjour
Soit x le nombre renversant
si x est un chiffre alors x=a+b =>1/a + 1/b = (a+b)/[ab] = x/[ab] = x/10 =>
ab = 10 ; 2 et 5 qui donne 7
si x est un nombre à 2 chiffres alors ab = 100 ( 2.50 = 4.25 = 5.20 = 10.10 ) => x = 20, 25 , 29, 52
si x est un nombre à 3 chiffres alors ab = 1000 .....
il y en donc une infinité
si x est un nombre à 4 chiffres alors ab = 10 000 ( = 5.2000  =  ..) =>
x = 2005 est un nombre renversant le plus près de 2006
Vérification 2005 = 2000 + 5 et 1/2000 + 1/5 = 0,0005 + 0,2 = 0,2005
A+

* Il y a une infinité de nombres renversants. En fait, l'ensemble des nombres renversants est , qui est de même cardinal que qui est de cardinal infini.
* Le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005 = 2000+5.

le problème se résume à trouver a et b tel que

ab=10ⁿ avec n entier

il a donc une infinité de solutions

Ainsi le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005

2005 = 2000 + 5

1/2000  +  1/5  =  0,2005

Bonjour,

Il existe une infinité de nombres renversants .
Le nombre renversant le plus proche de 2006 est .

Un nombre r est renversant si r=a+b avec a<b vérifiant deux conditions:
1) a*b=10^n (avec n entier)
2) 1<a<11

Il existe cinq nombres renversants par puissance de 10 dès n=3
n=1, on obtient 7
n=2, on obtient 20, 25, 29 et 52
            (20=10+10; 25=5+20; 29=4+25; 52=2+50)
n=3, on obtient 110, 133, 205, 254, 502
            (110=10+100; 133=8+125; 205=5+200; 254=4+250; 502=2+500)
n=4, on obtient 1010, 1258, 2005, 2504, 5002
            (1010=10+1000; 1258=8+1250; 2005=5+2000; 2504=4+2500; 5002=2+5000)
n=5, on obtient 10010, 12508, 20005, 25004, 50002
            (10010=10+10000; 12508=8+12500; 20005=5+20000; 25004=4+25000; 50002=2+50000)
...
=> il y a une infinité de nombres renversants

Le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005

Bonjour,

Soit X un nombre renversant (vous avez remarqué ? X renversé et donc à l'envers s'écrit X, c'est pour cela que je l'appelle X et non pas Y ou truc-much…)

0,X =  1/a + 1/b = (a + b) / ab = X / ab

Supposons que X comporte x chiffres. Il suffit donc que : 10^(-x) = 1 / ab soit : ab = 10^x pour que X soit renversant.

Réponse à la première question posée :
Comme x peut-être infini, il suffit donc que l'on prenne a = 2, alors pour tout x, b = 10^x / 2, et donc :
X = 2 + 10^x / 2 est un nombre renversant.
Il existe donc une infinité de nombres renversants. Exemple : pour x = 4 : X = 5002 qui est renversant.

Réponse à la deuxième question posée : Le nombre renversant le plus proche de 2006 :
X (proche de 2006, avec 4 chiffres) = a + b
Il faut que : ab = 10000.
Le diviseur de 10000 le plus proche de 2006 est 2000.
Ce qui fait : a = 2000 , b = 5, soit X = 2005.
Vérification : 1/2000 + 1/5 = 0,2005.

2005 est le nombre renversant le plus proche de 2006, et il existe une infinité de nombres renversants.

Merci pour cette énigme. J'en suis bouleversé donc il faut que j'aille bientôt me coucher ?

Salut à tous,

je pense qu'il y a une infinité de solutions, et le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005 (2000+5)

merci pour cette enigme

@+

Bonjour,voici ma réponse:
- OUI, il y a une infinité de nombres renversants.
- Le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005.

Explications:
- soit c un nombre renversant et n+1 son nombre de chiffres en base 10.
c est renversant si et seulement si c=a+b, avec a= 2^p5^q et b=2^n+1-p5^n+1-q, avec les conditions suivantes: 0n+1

désolée, j'ai posté par erreur sans avoir fini mon explication:
p et q [0;n+1] et c[10ⁿ; 10ⁿ⁺¹[. Ces conditions sont satisfaites avec c = 2 + 510ⁿ (a=2 et b= 510ⁿ) ex: 52, 502, 5002, 50002, etc sont renversants avec a=2 et b= 50, puis 500, puis 5000, etc. IL Y A DONC UNE INFINITE DE NOMBRES RENVERSANTS.

- D'autre part 2005= 2000+5 donc est de la forme générale annoncée ci-dessus et on vérifie qu'il est renversant: a=2000 et b=5.

Bonsoir,

on cherche a,b tels que où c=a+b
ce qui s'écrit encore où n est le nombre de chiffre qui compose a+b.
En multipliant par ab, il vient ,
puis en divisant par a+b, soit .
Finalement, on cherche (a,b) tel le produit ab est multiple de 10 (avec une petite condition sur la somme en plus).
Pour 10: (2,5) convient
Pour 100: (2;50),(4;25),(5;20) et (10;10) conviennent (i.e. 20,25,29 et 52)
Pour 1000: (2;500),(4;250),(8;125),(10;100) conviennent (i.e 65,110,133,254 et 502) mais pas (20;50) et (25;40) à cause de la taille de la somme...

Bref, on s'aperçoit facilement qu'on a une infinité d'entiers qui répondent à la question. Pour s'en convaincre, il suffit pour de considérer le couple (2;) qui convient toujours donc la suite ou même encore la suite ... ah ben tiens ça tombe bien... car pour m=3 on constate que 2005 convient !
Enfin, est à écarter.

Conclusion: et le plus proche de 2006 est .

Merci pour l'énigme.

Bonjour, ce mois ci, je prends mon temps, les nombreuses énigmes de mai ayant entraîné des tensions familiales

Je l'ai faite en réfléchissant, mais j'avais déjà fait chauffer VBA (sorry, Philoux)

je trouve un nombre infini de nombres renversants.

Celui qui est le plus près de 2006 est  2504.

Merci pour cette belle énigme.

Il y a une infinité de nombres renversants de la forme x=a+10ⁿ/a avec a divise 10ⁿ et a1
le plus proche de 2006 et 2005

Bonsoir !

Il existe une infinité de nombres renversants et le plus proche de 2006 est 2005.

On peut donner comme exemple les nombres formés à partir de a=2 et b=1/2*10ⁿ, n1, qui sont tous renversants, et en nombre infini. Ainsi, 5002 formé à partir de a=2, b=5000. 1/a+1/b=0.5002, etc.

Dans la feuille excel ci-dessous, je donne quelques exemples de nombres renversants, parmi ceux formés avec a=5, on trouve 2005 qui est le plus proche de 2006 (2006 n'étant pas lui-même renversant).

A++

Bonjour,

les nombres renversants sont tels que pour tout n entier naturel non nul l'on ait les 2 conditions suivantes réunies :

A)
(1/a)+(1/b) = (a+b)/10puissancen <=>
b.10puissancen + a.10puissancen = ab(a+b) <=>
ab = 10puissancen,

B)
a+b comporte n chiffres

Il y a donc une infinité de solutions, et la plus proche de 2006 est d'avoir a+b = 2005 ( soit 5+2000 )

En effet, 1/5 + 1/2000 = 0.2005

On doit donc avoir 1/a+1/b=(a+b)/10^E(log(a+b)+1) où E est la partie entière et log le logarithme décimal. Comme 1/a+1/b=(a+b)/ab on en déduit que
ab=10^E(log(a+b)+1) . Le produit ab est donc une puissance de 10
Si log(a+b)<1 soit a+b<10 et ab=10, la seule possibilité est a+b=2+5=7
pour 1<log(a+b)<2 10<a+b<100 et ab=100 on peut avoir pour a+b 2+50=52, 4+25=29, 5+20=25, 10+10=20
Si n>=3, n-1<log(a+b)<n, 10^(n-1)<a+b<10^n et ab=10^n, il y a les solutions 2+5*10^(n-1) , 4+25*10^(n-2), 5+2*10^(n-1) et 8+125*10^(n-3)
Il y a donc une infinité de solutions, dont 2005=2000+5 (1/2000+1/5=0,2005) qui est la plus proche de 2006

Bonjour,

Il existe de nombres renversants

? (s'il y en a une infinité, précisez-le).
Quel est le nombre renversant le plus proche de 2006 ?

Bonjour,

Erreur de manipulation : j'ai cliquer sur poster au lieu d'aperçu...

Il existe une infinité de nombres renversants.

Le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005.

La démonstration suivra bientôt.

A+, KiKo21.

bonjour,je pose a+b=s etab=p d'aprés le texte (s,p) vérifie l'équation
(E):s/p=0,s
*si 0<s<10  0,s=s/10 ,s non nul=>p=10
*plus généralement
si 10 ⁿs<10ⁿ⁺¹ 0,s=s/10ⁿ⁺¹,s non nul=>p=10ⁿ⁺¹
a et b sont solutions de l'équation x²-sx+p=0 de discriminant s²-4p,a et b sont entiers on doit donc avoir s²-4p=k² avec k entier
soit s²-k²=4p<=>(s+k)(s-k)=4p
dans le premier cas :p=10=> (s+k)(s-k)=40 donc s+k ets-k sont deux diviseurs pairs de 40 les couples possibles sont(10,4)et(20,2)ce dernier est à rejeter car s+k<20 donc s+k=10 et s-k=4 ce qui donne s=7,a=2 ,b=5 c'est l'exemple fourni par le texte
dans le cas général:p=10ⁿ⁺¹=>(s+k)(s-k)=40.10ⁿ
ce qui donne (s+k=4.1Oⁿ et s-k=10) ou(s+k=2.10ⁿ ets-k=2O)
d'où deux nombres renversants dans cet intervalle s=2.10ⁿ+5 et s=10ⁿ+1
conclusion: il ya une infinité de nombres renversants

pour n=3 s =2.10³+5=2005 est le nombre renversant le plus voisin de 2006
j'espère que j'ai bien écrit ce que je voulais écrire,il doit y avoir un problème de connexion j'ai du recommencer trois fois.
merci j'ai bien aimé cet exercice

Re-bonjour,

Justification (et pas vraimment démonstration comme annoncé...)

Soit X, a, b des entiers positifs
On pose n le nombre de chiffres formant X (n=1, 2, 3, ...)

X=a+b
1/a+1/b=(b+a)/ab=X/ab=X.10^-n
d'où ab=10ⁿ

Pour n=1, on a une solution X=7 pour (a;b)=(2;5) ou (5;2)
Rq : L'ordre entre a et b n'a pas d'importance
Pour n=2, ab=100 d'où 4 solutions X=52, 29, 25, et 20 pour (a;b)=(2;50) (4;25) (5;20) (10;10)
Les couples (a;b) sont du type a=2^p.5^r et b=2^q.5^s
a.b=2^p.5^r.2^q.5^s=2^p+q.5^r+s=10ⁿ
d'où p+q=r+s=n
Il y a (n+1)² possibilités mais il faut exclure les symétriques car l'ordre n'a pas d'importance.
Il faut aussi vérifier 10^n-1a+b<10ⁿ qui à priori limiterai à 5 le nombre de solutions dès n=4.

Conclusion

Les solutions sont à piori :

n=1 : X=7 (2+5 ou 5+2 qui donneront 25 et 52 pour n=2)
n=2 : X=25, 52, 20 (10+10 qui donnera 110 pour n=3), 29 (25+4 qui donnera 254 pour n=3)
n=3 : X=205, 502, 254, 110, 133 (125+8 qui donnera 1258 pour n=4)
à partir de n=4, on retrouve 5 solutions construites sur la même base.
n=4 : X=2005, 5002, 2504, 1010, 1258
n=5 : X=20005, 50002, 25004, 10010, 12508

etc...

n : X=2.10ⁿ+5, 5.10ⁿ+2, 25.10^n-1+4, 10ⁿ+10, 125.10^n-2+8

On doit pouvoir démontrer qu'il y a une infinté de ces solutions par récurence...

A bientôt, KiKo21.

Il y a une infinité de nombres renversants, ceux de la suite (2+5, 2+50, 2+500, 2+5000, etc), ceux de la suite (5+2, 5+20, 5+200, 5+2000, etc), ceux de la suite (4+25, 4+250, 4+2500, etc) et ceux de la suite (8+125, 8+1250, 8+12500, etc).

Le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005.

on le systeme: a+b=c
               1/a+1/b=0,c.
tel que c est un nombre renversant.
donc:a+b=c.
     10/a+10/b=c.
alors: a+b=[ab(a+b)]/10.
      10c=abc.
      ab=10.
a et b sont deux nombres entiers
alors: ab10.(strictement inférieur,je ne sais pas comment le taper sur le clavier)
alors il y a un seul nombre renversant 7.
11 ne l'est pas car il n'y a pas de a et b tel que:
1/a+1/b=0,11. (dans notre cas).
alors le nombre le plus proche de 2006 est 7.
je hais les j'aime les

à la prochaine(salamoualikoum en arabe)

Bonjour.
Je pense qu'il y a une infinité de nombres renversants et que le plus proche de 2006 est 2005.
Les nombres renversants sont somme de a et b entiers positifs non nuls et différents de 1 tels que
ab=10 , ab=100, ab=1000, ...
A+

Il y en a une infinité.
Ils ont une des formes suivantes : 7, 2#5, 5#2, 29, 25#4, 133, 125#8, 20, 1#10 (en admettant que soit compté le premier zéro non significatif du nombre décimal). # représente une suite de zéros consécutifs, éventuellement vide.
Le plus proche de 2006 est 2005 (2000+5).

Démonstration
Ici n représente une puissance quelconque de 10.
a+b = n/a + n/b
en multipliant par ab : ab(a+b) = nb+na = n(a+b)
ab = n
contrainte : 0,1 < 1/a + 1/b < 1.
Ni a ni b ne peuvent être 1. Si a et b sont tous deux supérieurs à 10, ils ne peuvent qu'être 16 ou 20. Mais alors 16 est accompagné de 625#, trop grand et 20 est accompagné de 50# trop grand. Donc au moins un des nombres parmi a et b est 2, 4, 5, 8, 10.

Bonjour,
alors de 1à10 seulement le chiffre 7 qui est renversant
les multiples de 7 l'ont aussi:70=20+50
                               20*50=1000
                               1/20+1/50=70/1000 ca donne 0.07 ( en base de 100) alors a parement il n'ya pas seul le chiffre 7 qui est renversant
alors le proche de 2006 est 7
enfin je vais reflichir plus

1)Il existe une infinité de nombres renversants
2)Le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005
Amicalement ireeti

Salut à tous ...

Montrons qu'il existe une infinité de nombres renversants

Soit n un nombre renversant
On écrit n en base 10 : n = a_k...a₀
Il existe deux entiers naturels a et b tels que :
a_k...a₀ = a + b
1/a + 1/b = 0,a_k...a₀

D'ou ab = a_k...a₀/0,a_k...a₀ = 10^(k+1)

Et il existe une infinité de couple(a,b) tel que le produit ab est une puissance de 10

Apres quelques calculs (fastidieux) sur papier on trouve que le nombre renversant le plus proche de 2006 est :
2005

En effet 2005 = 2000 + 5
Et 1/2000 + 1/5 = 0,2005

Merci pour l'enigme
Matouille2b  

Il y a une infinité de nombres renversants :

1/10 + 1/100 = 0.110
1/10 + 1/1000 = 0.1010
1/10 + 1/10000 = 0.10010
1/10 + 1/100000 = 0.100010
et ainsi de suite ...

et meme :

1/2 + 1/50 = 0.52
1/2 + 1/500 = 0.502
1/2 + 1/5000 = 0.5002
etc...

et le nombre renversant le plus proche de 2006 est 2005 :
1/5 + 1/2000 = 0.2005

Voila

il y en a une infinité
le plus proche de 2006 est 2005 : 2005 = 2000+5 et 1/2000 + 1/5 = 0.2005
                                                      

Merci à tous de votre participation.

Je vois que le mois commence bien