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Challenge n°208 : Une histoire de prés
Bonjour à tous, pour ouvrir le moi d'août, voici une énigme :
Trois prés couverts d'herbages de même densité et de même vitesse de croissance ont les superficies suivantes : le premier fait 10/3 hectares, le second 10 hectares et enfin le dernier fait 24 hectares. Seulement, il y a des moutons dans ces prés, et on sait qu'ils ont un appétit vorace...
Ainsi le premier pré peut nourrir 12 moutons pendant 4 semaines, et le second peut nourrir 21 moutons pendant 9 semaines.
Combien de moutons pourra nourrir le troisième pré pendant 18 semaines ?
Bonne chance 
bonjour Pulsea
le troisième pré pourra nourrir trente-six moutons pendant dix-huit semaines
soient 1 la quantité initiale d'herbe d'un hectare, c l'accroissement de l'herbe en une semaine et m la quantité mangée par un mouton en une semaine
premier pré : 10/3 + 40/3 c = 48 m; 10+40c = 144m
deuxième pré : 10+90c = 189m
50c = 45m; c = 0,9m
premier pré : 10+36m = 144m; m = 10/108
c = 10/108 * 9/10 = 1/12
troisième pré :
quantité mangée : 24+(24*18/12) = 60
semaines pour un seul mouton : 60*108/10 = 648
nombres de moutons : 648/18 = 36
ce genre de problème a été posé par Newton
Bonjour,
Soit H la quantité d'herbe par hectare, et K la production d'herbe par hectare et par semaine.
On est amené à résoudre le système:
{ (10/3)*H +4 K*(10/3)*H = 4*12 (1)
{ 10 H+9 K*10 H = 9*21 (2)
{ 24 H+18 K*24 H = 18 X (3) où X est le nombre de mouton du troisième pré
La résolution des équations (1) et (2) nous donne:
K = 1/12
H = 108/10
En reportant dans (3) on obtient X = 81.
Le pré de 24 hectares pourra nourrir 81 moutons pendant 18 semaines.
A+,
gloubi
Le nombre de moutons est une fonction du type n=a+b/t du temps en semaine: on déduit des deux premiers éléments qu'un pré de 10 hectares nourrit 36 moutons pendant 4 semaines, et 21 moutons pendant 9 semaines, donc 15 moutons pendant 18 semaines.
Un pré de 24 hectares nourrira donc 36 moutons pendant 18 semaines
Bonsoir:
la vitesse d'un mouton étant de 5/54 par jour.
et celle du pré est de 1/12 par hectar et par jour...
Donc, 36 moutons pourra nourrir le troisième pré pendant 18 semaines
remarque:
Il est très mimi votre mouton (j'adore son sourire ... et sa dent)... c'est vous qui l'avez fait?
Bonjour,
j'ai ramené le problème à ce que donne 1 ha
pré 1 : 3*12/10 = 3.6 rations par semaine et donc 3.6*4 = 14.4 rations en tout pendant les 4 semaines
pré 2 : 21/10 = 2.1 rations par semaine et donc 2.1*9 = 18.9 rations en tout pendant les 9 semaines
On a une fonction affine qui donne la quantité de rations données, car l'ordonnée à l'origine correspond à l'herbe présente au départ dans le pré
je trouve y = 0.9x + 10.8
x étant le nombre de semaines et y les rations hebdomadaires
avec x = 18 on a 27 rations données pour chaque hectare
comme on a 24 ha ça fait 24*27 = 648 rations en 18 semaines
on pourra donc nourrir 648/18 = 36 moutons dans le pré 3 pendant 18 semaines.
Je vous poste mon graphique :
Je pense que la réponse est 36 moutons.
En effet, en posant :
m : nombre de moutons
w : nombre de semaines
s : superficie
x : nourriture engloutie par un mouton en une semaine par rapport à la superficie
y : vitesse de repousse par rapport à la superficie
On obtient l'équation suivante :
(w-1).s.y + s = w.m.x
Des deux premiers champs, on déduit que :
x = 10/117
y = 1/13
bonjour,
soient:
un pré de superficie S,
d la densité de l'herbage à l'instant t=0
v la vitesse/semaine de croissance de l'herbage
a la quantité d'herbe engloutie par un mouton en une semaine (en supposant qu'elle ne dépend pas du mouton)
si l'on note n le nombre de moutons que le troisième pré peut nourrir en 18 semaines les données (si j'ai bien compris) permettent d'écrire le système suivant
(1)10(d+4v)=48a
(2)10(d+9v)=189a
(3)24(d+18v)=18na
d,v,a étant supposés non nuls les équations ne sont compatibles que si n=36 sauf erreur de calcul de ma part
merci pour cet exercice original
c : vitesse de croissance des prés
m : quantité qu'n mouton mange par semaine
12 m × 4semaines = 10/3 hectares + c × 4semaines
12 m = c + 5/6
21 m × 9semaines = 10 hectares + c × 9semaines
21 m = c + 10/9
oups je recommence
en voulant sauter un ligne en pesant sur enter j'ai posté ma réponse...
alors
m : quantité qu'un mouton mange par semaine
c : vitesse d'accroissement des champs
z : nombre de moutons pouvant être nourri durant 18 semaines par le 3ieme champs
12m × 4semaines = 10/3 hectares + c × 4semaines
12m = 5/6 + c
c = 12m - 5/6
21m × 9semaines = 10 hectares + c × 9semaines
21m = 10/9 + c
c = 21m - 10/9
c = c
12m - 5/6 = 21m - 10/9
9m = 10/9 - 5/6 = 5 /18
m = 5/162
c = 1 / 2,16
z m × 18semaines = 24 hectares + c × 18semaines
z m = 12/9 + c
5z / 162 = 12/9 + 1/ 2,16
z = 58,2 = 58 moutons
merci meme si je risque de recevoir un 
Bonjour,
je voudrais tout d'abord signaler que l'énoncé est ambigü.
de même vitesse de croissance
Je sais pas comment interpréter cette phrase!
Veut-elle dire que pendant le mouton broute un bout de terrain, le reste des herbages pousse ou alors quand le mouton broute le reste pousse indépendamment de la surface du terrain restant?
Selon l'une ou l'autre hypothèse, on arrive à deux résultats différents.
Dans le premier cas, le temps nécessaire pour brouter une surface S est exponentiel (ce qui peut se comprendre par le fait que quand un mouton broute un bout de terrain, le reste pousse, et il aura de plus en plus de mal à brouter les herbages restants) ; dans le second cas, il est quadratique (qui est beaucoup plus facile à résoudre, donc je pencherai pour le cas suivant).
Dans le doute, je vais résoudre les deux cas, et le correcteur choisira celui qui correspondait à l'énoncé.
Dans les deux cas, on peut se ramener à un seul mouton. En effet, le nombre de moutons nécessaires est proportionnel au nombre d'hectares.
Ainsi 1 mouton broutera 10/36 hectares pendant 4 semaines, et 10/21 pendant 9 semaines.
1er cas : Le terrain pousse uniformément sur la surface restante.
Appelons T(S) le temps nécessaire à un mouton pour brouter une surface S, d(T) la densité d'herbages et b la vitesse de broutage. (joli nom
)
"L'herbe pousse uniformément" se traduit alors par d(T)= pT + d0.
où p désigne la vitesse de pousse et d0 la densité d'herbage à l'origine.
On a alors à la physicienne,
T(S+dS)-T(S) = d(T) dS/ b
où T(S+dS)-T(S) désigne la durée pendant laquelle le mouton broute la surface dS alors qu'il a déjà mangé une surface S, d(T) dS désigne la quantité d'herbages contetnue sur la surface dS, et donc d(T) dS/ b le temps que le mouton met pour brouter la surface dS. (j'espère que c'est clair
)
On se retrouve avec l'équation différentielle
T'(S)- p/b T(S) = d0/b.
En la résolvant, et en utilisant le fait que T(0)=0,
on trouve que T(S) est de la forme
Ceci est assez dur à résoudre, donc j'ai utilisé une méthode de résolution graphique :
On trouve que A=4.2 et k=2.4
Ainsi,un mouton se contentera de 0.7h pendant 18 semaines.
or 24/0.7 = 34.28,
donc on peut nourrir 34 moutons pendant 18 semaines sur un terrain de 24h.
Ca c'était le premier cas!
Maintenant le...
2nd cas : Le terrain pousse uniformément sur la surface.
On trouve avec les mêmes notions que
T(S+dS)-T(S)=d/b dS + p S dS
où p S désigne la quantité d'herbages qui s'est rajoutée (donc proportionnel à S)
On résoud ceci, on trouve que T est un polynôme de second degré vérifiant T(0)=0,
donc T est de la forme
En utilisant que T(10/36)=4 et T(10/21)=9 on peut calculer a et b, on trouve
a=567/25
et b=81/10
Ainsi on trouve que
et donc 1 mouton se contentera de 0.73h pendant 18 semaines,
or 24/0.73 = 32.876,
donc on peut nourrir 32 moutons sur le troisième terrain pendant 18 semaines.(ou 33 ça dépend comment on veut arrondir)
Bon compte tenu que l'exercice n'est évalué à qu'une étoile je suppose que c'est le dernier résultat qui est attendu, mais on n'est jamais trop prudent...
36 moutons
si c est le taux de croissance de l'herbe par semaine et par unité d'aire et a l'appétit d'un mouton pendant une semaine, soit la surface du champ et N le nombre de moutons de ce champ, alors la surface S d'herbe dépend du temps t exprimé en semaines par l'équation
un champ est épuisé lorsque S atteint 0.
Les deux conditions s'énoncent donc par le système d'équations
qu'on résout pour obtenir
Alors le dernier champ sera épuisé par N moutons quand on aura
bonjour
je trouve 36 moutons, nourris sur 24 ha pendant 18 semaines
... et après on va dire que les éleveurs de moutons ne stimulent pas leurs neurones !!!!
es-tu sur de ton ennonce .Je penses qu'il y a une ereur au niveau du 2eme pre a moin que se soi moi qui me trompe mas j'ai tout de meme un doute
bonjour,
10/3 ha peut nourrir 12 m. en 4 s.
120 ha peut nourrir 432 m. en 4 s.
10 ha peut nourrir 21 m. en 9 s.
120 ha peut nourrir 252 m. en 9 s.
En multipliant les semaines par 9/4, les moutons se multiplient pas 7/12.
En multipliant les semaines par 2, les moutons se multiplient donc par 14/27.
On a donc:
120 ha peut nourrir 392/3 moutons en 18 semaines.
24 ha peut nourrir 392/15 moutons en 18 semaines, soit 26 moutons.
merci pour l'énigme.
Je trouve 36 moutons ...
H represente ici la repousse d'herbe en hectare par semaine, et par surface.
Chaque mouton mange la même quantité par semaine, on se retrouve avec l'équation suivante ;
( 10/3 + 4*10/3*H ) / 48 = ( 10+9*10*H ) / 189
On obtient X = 1/12 ...
On sait maintenant qu'un mouton mange 17.5/189 d'hectare par semaine.
Au bout de 18 semaines, un moutons aura mangé 5/3 d'hectare, mais pendant ce temps, l'herbe aura repoussée sur 26 hectares, au final - sur 18 semaines -,
il y a 60 hectares d'herbe disponible.
Le champs, de ce fait, peut nourir 60/(5/3) = 120/5 = 36 moutons ...
Bonjour,
Pour résoudre ce problème, je propose de poser 3 inconnues :
- soit x la quantité d'herbe qui pousse par semaine et par hectare ;
- soit y la quantité d'herbe mangée par semaine et par mouton ;
- soit z la quantité d'herbe par hectare avant que les "fauves" ne soient lâchés.
Ainsi, "10/3 d'hectares peuvent nourrir 12 moutons pendant 4 semaines" se traduira par :
De même, "10 hectares peuvent nourrir 21 moutons pendant 9 semaines" deviendra :
Soit m le nombre de moutons pouvant se nourrir dans le pré de 24 hectares pendant 18 semaines, on cherche m vérifiant :
En "arrangeant" chacune des équations, on obtient le système suivant :
Si je retranche la première équation à la deuxième, j'obtiens :
De même, si je retranche la deuxième équation à la troisième, j'obtiens :
En substituant x dans (E2) par 0,9y (expression déduite de (E1)), on trouve :
m=36
Conclusion, le troisième pré pourra nourrir 36 moutons pendant 18 semaines.
Bonsoir,
Sans aucune conviction, je pense que ce 3eme pré pourra nourrir 30 moutons en 18 semaines. (En considérant que le rapport de deux superficies est égal au rapport du nombre de moutons équivalent qui est lui même égal au rapport du nombre de semaines respectifs). En bref, cela semble proportionnel.
Merci pour l'énigme
Bcracker
on peut calculer que le nombre x de moutons pouvant etre nourris en 18 jours dans le troisieme champ est égal à x = 14256/(90+40/3) soit 137 moutons en arrondissant à l'inferieur et 138 moutons en arrondissant au supérieur. (en supposant qu'il n'existe que des moutons entiers ^^)
Oui c'est vrai qu'elle méritait peut-être une étoile de plus... Comme quoi il ne faut pas trop se fier aux étoiles lorsqu'on fait l'énigme
Bonjour,
Il faillait bien faire attention aux unités des inconnues...
En tout cas, c'était un très bon challenge. Merci Puiséa.
Si vous aimez les moutons 
, vous allez adorer 
A+, 
KiKo21.
Au fait, pour répondre à laotze, je n'ai pas dessiné le mouton. Une recherche image avec google a été plus rapide 
Bonjour,
En reportant dans (3) on obtient X = 81.
N'importe quoi!
D'où sort ce 81? Je suis sûr que j'avais trouvé 36!
Non, je plaisante...
Un mois d'août qui fut bien pluvieux, et qui s'annonce bien poissonneux
A+
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