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Challenge n°26**

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
20-10-04 à 20:53

Un certain nombre de deux chiffres ajouté au nombre de deux chiffres obtenu en échangeant ces chiffres donne un carré parfait. Combien y a-t-il de telles paires (non ordonnées) de nombres ?

Clôture dans environ 24 heures...
Bonne chance à tous

Posté par
dad97 Correcteur
re : Challenge n°26** 20-10-04 à 21:24

gagnéBien j'en vois 4

Cela ne doit pas être cela puisqu'il y a deux étoiles à l'énigmes (comme pour le cône à partager en 3 )), j'ai du en oublier mais je ne vois pas l'erreur dans mon raisonnement

Salut

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Challenge n°26** 20-10-04 à 21:29

gagnéZut, comme beaucoup trop souvent, j'ai un problème de compréhension.
Le problème est assez facile en soi mais on se demande si il faut ou non compter 29 et 92 par exemple pour 1 ou 2 dans le décompte final.
C'est peut-être clair dans ton esprit mais pas dans le mien.

Les nombres qui conviennent sont:
29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 et 92
----
Il semble bien (?????) que les paires (x,y) et (y,x) sont équivalentes dans la question puisqu'on demande les paires non ordonnées.

-> la réponse est alors 4 paires non ordonnées.
-----



Posté par
muriel Correcteur
re : Challenge n°26** 20-10-04 à 21:52

perduje dirai: 15 paires
(28;82) (82;28) (29;92) (92;29) (37;73) (73;37) (38;83) (83;38) (46;64) (64;46) (47;74) (74;47) (55;55) (56;65) (65;56)

voilà, je crois que c'est ceci qu'on demande

Posté par moor31 (invité)re : Challenge n°26** 21-10-04 à 00:03

gagnéIl y a donc 4 paires non ordonnées {29 ; 92}, {38 ; 83}, {47 ; 74}, {56 ; 65}
@+++
Moor31

Posté par zineb (invité)reponse au challenge 21-10-04 à 03:54

il y a quatre paires {2;9} {3;8} {4;7} {5;6} possibles

Posté par
theprogrammeur
re : Challenge n°26** 21-10-04 à 06:57

gagnéBonjours à tous !

Je vous propose ma réponse suivante : il existe 4 paires de nombres formés de 2 chiffres qui vérifient ces propriétés. {92,29},{83,38},{74,47},{65,56} la somme d'une paire donnant la nombre 121, carré de 12.

Bonne continuation.

Posté par Graubill (invité)re : Challenge n°26** 21-10-04 à 13:01

gagné10a+b + 10b+a = x²
11 (a+b) = x²

or a+b

donc x² est divisible par 11, comme a+b<18
a+b=11

les couples non ordonnés sont
(2;9) (3;8) (4;7) (5;6)

00 n'est pas un chiffre de deux nombres

Donc 4 couples possibles.

Posté par
Belge-FDLE
re : Challenge n°26** 21-10-04 à 14:16

gagnéSalut à tous ,

Ma réponse est la suivante : Il existe 4 telles paires de nombres qui sont : 29-92, 38-83, 47-74 et 56-65.  

Voici comment j'ai procédé soit un nombre de la forme 2$\bar{ab}, son "partenaire" sera de la forme 2$\bar{ba}.
Or on a :
2$\rm~\bar{ab}~=~a\times10+b   et   2$\rm~\bar{ba}~=~b\times10+a

d'où :
2$\bar{ab}+\bar{ba}~=~a\times10+b+b\times10+a
2$\bar{ab}+\bar{ba}~=~a\times11+b\times11
2$\bar{ab}+\bar{ba}~=~11(a+b)

(avec a et b entiers naturels compris entre 1 et 9)

Or, pour que 2$11(a+b) soit un carré parfait, il faut que 2$(a+b) soit un multiple de 11 et d'un carré parfait, d'où :
2$(a+b)~=~11\times~n^2.

Et prenant n=0, on a :
2$(a+b)~=~0
Ce qui veut dire que :
a=0 et b=0 d'où la paire 0-0, qui ne sont pas des nombres à deux chiffres et ne conviennent donc pas.

En prenant n=1, on a :
2$(a+b)~=~11
On en déduit que les couples qui conviennent sont :

a=9 et b=2, d'où la paire 97-79
a=8 et b=3, d'où la paire 83-38
a=7 et b=4, d'où la paire 74-47
a=6 et b=5, d'où la paire 65-56

Et c'est tout, car si on prend prend des valeurs de a inférieures à 6, on retombera par symétrie sur ces 4 couples.

En prenant n=2, on se rend compte que c'est impossible de trouver a et b tels que :
2$(a+b)~=~44
En effet :
2$\rm~0~<~a~\leq~~9   et   2$\rm~0~<~b~\leq~~9

donc : 2$\rm~0~<~a+b~\leq~~18   d'où   2$\rm~a+b~<~44

CONCLUSION : Les seules quatres paires qui conviennent sont 29-92, 38-83, 47-74 et 56-65.

Voili, voilou .

Bonne chance à tous , et merci à Puisea pour cette énigme

En espérant avoir juste ,

À +

Posté par claireCW (invité)re : Challenge n°26** 21-10-04 à 14:54

gagné4 paires

(29; 92) - (38;83) - (47;74) - (56;65)

Posté par BioZiK (invité)re : Challenge n°26** 21-10-04 à 18:14

Les paires qui vérifient cela sont
(29;92) (38;83) (47;74) (56;65) soit 4 paires si on compte seulement celle ci sinon le double si on compte les couples inversés en plus (92;29) (83;38) (74;47) (65;56)

la somme de ces nombres à 2 chiffres donne toujours 121 qui est le carré de 11.

PS: curiosité, si on additionne les chiffres de chaque nombre on obtient 11 aussi ^^

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°26** 21-10-04 à 20:55

Voila, environ 24 heures sont passées, correction !!

Réponse : 4

Correction :
Si le nombre s'écrit 'ab', il vaut 10a+b et son "symétrique" vaut 10b+a. Leur somme vaut 11(a+b); c'est un carré parfait si et seulement si a+b=11.
On obtient les paires {29;92},{38;83},{47;74},{56;65}

Prochaine énigme de suite

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 09:31:16.
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