Montrer dans :
sin[cos(x)] < cos[sin(x)]
Une réponse ne sera validée que si elle est composée d'un raisonnement démontrant l'ennoncé...
Bonne chance à tous
Clôture demain soir (je laisse le temps pour cette énigme assez compliquée)
Bonjour,
Soit f : x --> cos(sin(x))-sin(cos(x))
* De la 2pi-périodicité des fonctions cosinus et sinus on déduit la 2pi-périodicité de la fonction f.
On se limite donc à une étude sur
* Les fonctions x --> cos(sin(x)) et x --> sin(cos(x)) sont continues sur I comme composés de fonctions continues sur I.
De là on déduit que f est continue sur I comme somme de deux fonctions continues sur I.
* Examinons l'équation cos(sin(x))=sin(cos(x))
cos(sin(x))=sin(cos(x))
<--> (1)
<--> ou (2)
<--> ou
<--> ou
<--> ou
<--> ou (3)
<--> ou
<--> ou
or il est assez facile de montrer que :
aucun élément de l'ensemble n'appartient à [-1;1] image de la fonction cosinus
si bien que l'équation cos(sin(x))=sin(cos(x)) n'admet pas de solution dans R.
Explication sur les équivalences :
(1) avec X=cos(x)
(2) cos(a)=cos(b) <--> a=b ou a=-b
(3) cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)= cos(a-b)
cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)=cos(a+b)
* f étant continue sur l'intervalle I, f(I) est un intervalle.
On vient de montrer que 0 ne pouvait appartenir à f(I) donc f est de signe constant sur I.
* f(0)= cos(sin(0))-sin(cos(0))=cos(0)-sin(1)=1-sin(1)0,159 >0
donc f est strictement positive sur I et par 2pi-périodicité on en déduit que f est strictement positive sur R
Conclusion :
Pour tout x réel sin(cos(x))< cos(sin(x))
Salut
Soit f(x)=sin(cos(x))
sin(cos(x+2Pi))=sin(cos(x))
-> f est 2Pi périodique.
f(-x) = sin(cos(-x)) = sin(cos(x)) = f(x)
-> f est paire.
Soit g(x) = cos(sin(x))
cos(sin(x)) = cos(-sin(x)) = cos(sin(-x)) = cos(sin(x+Pi))
-> g est Pi périodique.
g(-x) = cos(sin(-x)) = cos(-sin(x)) = cos(sin(x)) = g(x)
-> g est paire.
f(x) - g(x) est donc 2Pi périodique et paire.
On peut donc limiter l'étude de f(x) - g(x) pour x dans [0 ; Pi].
L'extension sur R se faisant par la périodicité et la parité de [f(x) - g(x)]
-----
f '(x) = -cos(cos(x)).sin(x)
comme -1 <= cos(x) <= 1, on a -cos(cos(x)) < 0 et donc f '(x) a le signe contraire de sin(x)
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; Pi[
f '(x) = 0 pour x = Pi
-> f(x) est décroissante
g'(x) = -sin(sin(x)).cos(x)
comme 0 <= sin(x) <= 1, on a -sin(sin(x)) < 0 pour x dans ]0;pi[ et donc g'(x) a le signe contraire de cos(x)
g'(x) = 0 pour x = 0
g'(x) < 0 pour x dans ]0;Pi/2[ -> g(x) est décroissante.
g'(x) = 0 pour x = Pi/2
g'(x) > 0 pour x dans ]Pi/2;Pi[ -> g(x) est croissante
g'(x) = 0 pour x = Pi
-----
f(Pi/2) = sin(cos(Pi/2)) = sin(0) = 0
g(Pi/2) = cos(sin(Pi/2)) = cos(1) = 0,54... > 0
Avec f(Pi/2) < g(Pi/2)
et f(x) décroissante sur [Pi/2 ; Pi]
et g(x) croissante sur [Pi/2 ; Pi]
Des 3 lignes précédentes, on conclut que:
f(x) < g(x) pour x dans [Pi/2 ; Pi]
sin(cos(x)) < cos(sin(x)) pour x dans [Pi/2 ; Pi] (1)
-----
Avec x dans [0 ; Pi/2]
sin(cos(x)) - cos(sin(x)) = sin(cos(x)) - cos(V(1-cos²(x))) avec V pour racine carrée. (La racine carrée avec le signe + puisque x dans [0 ; Pi/2]).
Pour facilité l'écriture, posons cos(x) = X, on a X dans [0 ; 1]
sin(cos(x)) - cos(sin(x)) = sin(X) - cos(V(1-X²)) avec X dans [0 ; 1]
h(X) = sin(X) - cos(V(1-X²)) avec X dans [0 ; 1]
h(X) est continue.
Cherchons si h(X) peut s'annuler dans [0 ; 1]
h(X) = 0 si sin(X) = cos(V(1-X²))
Soit: sin(X) = sin((Pi/2) - V(1-X²))
a)
X = (Pi/2) - V(1-X²)
V(1-X²) = (Pi/2) - X
Les 2 membres sont positifs ->
1-X² = (Pi²/4) + X² - Pi.X
2X² - Pi.X + (Pi²/4)-1 = 0
Le discriminant de cette équation est < 0 -> il n'y a pas de solution réelle.
b)
X = Pi - [(Pi/2) - V(1-X²)]
X = (Pi/2) + V(1-X²)
V(1-X²) = X - (Pi/2)
Le membre de gauche est positif et celui de droite est négatif -> il n'y a pas de solution réelle.
Donc h(x) ne peut jamais s'annuler.
Comme h(x) est continue sur [0 ; 1], on conclut que h(X) a partout le même signe dans [0 ; 1]
h(0) = sin(0) - cos(V(1-0²) = 0 - cos(1) = -0,54...
et donc h(X) < 0 pour X dans [0 ; 1]
En se rappelant (voir avant) que:
x dans [0 ; Pi/2] correspond à X dans [0 ; 1]
et que on a posé cos(x) = X, il vient:
h(X) < 0 pour X dans [0 ; 1]
sin(X) - cos(V(1-X²)) < 0 avec X dans [0 ; 1]
sin(cos(x)) - cos(V(1-cos²(x))) < 0 avec x dans [0 ; Pi/2]
sin(cos(x)) - cos(sin(x)) < 0 avec x dans [0 ; Pi/2]
sin(cos(x)) < cos(sin(x)) avec x dans [0 ; Pi/2] (2)
-----
(1) et (2) ->
sin(cos(x)) < cos(sin(x)) pour x dans [0 ; Pi]
sin(cos(x)) - cos(sin(x)) < 0 pour x dans [0 ; Pi] (3)
Comme on a montré (voir début) que f(x) - g(x) est 2Pi périodique et paire.
-> on a donc avec (3):
sin(cos(x)) - cos(sin(x)) < 0 pour x dans R
sin(cos(x)) < cos(sin(x)) pour x dans R
-----
Salut à tous ,
Alors voici comment je procéderais pour démontrer cela :
*Périodicité des fonctions :
-Tout d'abord, il faut remarquer que l'on a (pour ) :
d'où
càd
-De même, on a :
d'où
càd
CONCLUSION : Ces deux fonctions sont périodiques de période .
**Parité :
-On remarque également que l'on a (pour ) :
(car la fonction cos est paire)
Ce qui traduit que la fonction est paire.
-De même, on a :
(car la fonction sin est impaire)
(car la fonction cos est paire)
Ce qui traduit que la fonction est paire.
CONCLUSION : Ces deux fonctions sont paires (et graphiquement, leurs courbes représentatives admettent donc l'axe des ordonnées pour axe de symétrie).
Conséquences de ces études préliminaires :
*Comme ces deux fonctions sont périodiques de péridode , il suffit d'étudier chacune des ces deux fonctions sur un intervalle de longueur , pour connaître leur comportement sur (il suffira de répliquer cet intervalle indéfiniment) : on choisira pour cette démonstration l'intervalle .
*Comme ces deux fonctions sont paires, on peut restreindre notre étude à l'intervalle .
***ÉTUDE DES 2 FONCTIONS :
-Sur l'intervalle :
Sur cet intervalle, on a :
d'où
càd
et
d'où
càd
Cette étude ne suffit pas, il faut approfondir.
*Déterminons les variations de nos deux fonctions sur cette intervalle, en étudiant le signe de leurs dérivées sur cet intervalle :
et
Or, sur l'intervalle , cos(x) et sin(x) sont positifs et donnent des valeurs comprisent dans l'intervalle . Or, cos(x) et sin(x) sont aussi positifs sur l'intervalle .
On a donc :
et de même :
Conclu : Les fonctions et sont décroissantes sur l'intervalle
**Voici plusieurs calculs permettant de compléter le tableau :
et
et
et
On obtient alors le tableau suivant, qui nous permet de conclure :
Conclusion : Sur l'intervalle , on bien
-Sur l'intervalle :
Sur cet intervalle, on a :
d'où
càd
et
d'où
càd
Conclusion : Sur l'intervalle , on bien
CONCLUSION GÉNÉRALLE
Ainsi, on a bien sur l'intervalle .
Comme les deux fonctions et sont paires, on a également sur l'intervalle .
Ainsi, on a sur l'intervalle qui a une longueur de .
On a donc pour tout .
Voili, voilou .
Bonne chance à tous , et merci à Puisea pour cette énigme .
En espérant avoir juste ,
À +
J'ai trois pages sur mon brouillon alors je me permet de condenser quelque peu...
Les 2 fns sont periodiques de période 2 Pi
Considerons onc le probleme sur [-pi;pi]
sin[cos(x)]-cos[sin(x)] est impaire, donc on peut considérer le probleme sur [0;Pi]
sin(cosx) est strictement négatif sur [Pi/2;Pi]
alors que cos[sin(x)] est strictement positif donc pas de solution sin[cos(x)]=cos[sin(x)]
Soit y = sin x, z = cosx, nous savons que cos(q) = sin(q + Pi/2 )
On montre facilement que :
z = (y+pi/2) + 2*n*pi pout tout entier n (a)
= pi + (y+pi/2) + 2*n*pi (b)
On montre apres que z-y n'a pas de solutions à l'aide de l'eqn (a)
On resouds z+y, cela ne marche que si n=0 soit :
cosx+sin x = pi/2
Ceci n'a pas de solutions sur [0;pi/2]
Donc sin[cos(x)]=cos[sin(x)] n'a ps de solution sur [0;Pi/2]
D'ou sin[cos(x)]=cos[sin(x)] n'a ps de solution sur IR
sin(cos(pi/2))=0 cos(sin(pi/2))=cos(1)
Donc sin[cos(x)] < cos[sin(x)]
c'est long mais cela marche bien
CQFD
Voila, alors là je suis vraiment bluffer, non pas parsque vous avez réussi , mais de part la longueur des réponses !! c'est énorme, alors j'ai remarqué des fâçons de faire différentes, mais qui aboutissent à des résultats correctes...
Mes félicitations à tous, notemment à belge-FDLE à qui one ne peut rien reprocher à part quelques fautes d'orthographes mais bon je peux pas dire que je fais mieux
Encore bravo à tous, je suis estomaqué !! je vais mettre une énigme un peu plus facile pour les autres et j'annoncé dès à présent une absence de ma part du jeudi 27 octobre au mercredi 2 novembre durant laquelle une méga énigme sera posée
En espérant cette fois-ci pour voir ouvrir une poissonnerie !! allez @+
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Voila, c'était une bonne énigme du niveau prepa, j'ai trouvé très intéressant de faire cette énigme car elle apparait simple... et surtout, j'ai trouvé la correction très intéressante... bravo à tout ceux qui ont pris la peine d'essayer de résoudre cette énigme... voila la correction
Correction :
On a :
sin[cos(x)] < cos[sin(x)] 0 < cos[sin(x)] - sin[cos(x)]
sin[cos(x)] < cos[sin(x)] 0 < cos[sin(x)] - cos[ - cos(x)]
En utilisant cette formule : cos a - cos b = -2sin.sin , on a :
cos[sin(x)] - cos[ - cos(x)] = -2.sin[].sin[]
cos[sin(x)] - cos[ - cos(x)] = 2.sin[].sin[] car sin(-x) = -sin x.
Or :
sin x - cos x = .sin(x-) et sin x + cos x = .sin(x+).
On passe à la valeur absolue et on trouve :
|sin x - cos x| < et |sin x + cos x| < .
On arrive alors à :
0 < < et 0 < <
Mais sur [0 ; ], sin est positive. Maintenant, on repart à l'envers et on trouve bien :
sin[cos(x)] < cos[sin(x)], pour tout x réel.
Voila, relisez-la plusieurs fois car j'ai mis du temps à tout retaper
Prochaine énigme dans une tite heure...
moi aussi je suis bluffer je n'aurais jamais eu le courage de tout lire ... ( et de tout écrire a leur place )
une si petite énigme pour une si grande réponse !
bravo pour le sans-fautes ( je parle pas des fautes d'orthographe )
Bonjour,
je sais que la réponse arrive un peu tard, mais il me semble qu'avec les mêmes idées, on peut faire plus court.
De même
Donc (a)
et (b)
Qui se résume en
La fonction sin est croissante sur .
donc .
donc .
on peut donc appliquer le sin à l'inégalité:
donc sin(cos(x)) < cos(|sin(x)|) puis sin(cos(x)) < cos(sin(x))
C'est ainsi démontrable uniquement avec des outils de fin de 1erS
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