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Niveau 4 *
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Challenge n°28****

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
23-10-04 à 10:28

Montrer dans :

sin[cos(x)] < cos[sin(x)]

Une réponse ne sera validée que si elle est composée d'un raisonnement démontrant l'ennoncé...

Bonne chance à tous
Clôture demain soir (je laisse le temps pour cette énigme assez compliquée)

Posté par
dad97 Correcteur
re : Challenge n°28**** 23-10-04 à 14:29

gagnéBonjour,

Soit f : x --> cos(sin(x))-sin(cos(x))

* De la 2pi-périodicité des fonctions cosinus et sinus on déduit la 2pi-périodicité de la fonction f.
On se limite donc à une étude sur I=[0;2\pi]


* Les fonctions x --> cos(sin(x)) et x --> sin(cos(x)) sont continues sur I comme composés de fonctions continues sur I.
De là on déduit que f est continue sur I comme somme de deux fonctions continues sur I.

* Examinons l'équation cos(sin(x))=sin(cos(x))

cos(sin(x))=sin(cos(x))

<--> cos(sin(x))=cos(cos(x)-\frac{\pi}{2}) (1)

<--> sin(x)=cos(x)-\frac{\pi}{2} [2\pi] ou sin(x)=-cos(x)+\frac{\pi}{2}[2\pi] (2)

<--> sin(x) - cos(x)= -\frac{\pi}{2}[2\pi] ou sin(x) + cos(x) = \frac{\pi}{2}[2\pi]

<-->  \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x))=-\frac{\pi}{2}[2\pi] ou  \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x))=\frac{\pi}{2}[2\pi]

<-->  \sqrt{2}(sin(\frac{\pi}{4}sin(x)-cos(\frac{\pi}{4})cos(x))=-\frac{\pi}{2}[2\pi] ou  \sqrt{2}(sin(\frac{\pi}{4})sin(x)+(cos(\frac{\pi}{4})cos(x))=\frac{\pi}{2}[2\pi]

<-->  -\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4}+x)=-\frac{\pi}{2}[2\pi] ou  \sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{\pi}{2}[2\pi] (3)

<-->  cos(\frac{\pi}{4}+x)=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}[\frac{2\pi}{\sqrt{2}}] ou  cos(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}[\frac{2\pi}{\sqrt{2}}]

<-->  cos(\frac{\pi}{4}+x)=\frac{\pi\sqrt{2}}{4}[\pi\sqrt{2}] ou  cos(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{\pi\sqrt{2}}{4}[\pi\sqrt{2}]


or il est assez facile de montrer que :
aucun élément de l'ensemble \frac{\pi\sqrt{2}}{4}[\pi\sqrt{2}] n'appartient à [-1;1] image de la fonction cosinus

si bien que l'équation cos(sin(x))=sin(cos(x)) n'admet pas de solution dans R.

Explication sur les équivalences :
(1) sin(X)=cos(X-\frac{\pi}{2}) avec X=cos(x)
(2) cos(a)=cos(b) <--> a=b [2\pi] ou a=-b [2\pi]
(3) cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)= cos(a-b)
cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)=cos(a+b)

* f étant continue sur l'intervalle I, f(I) est un intervalle.
On vient de montrer que 0 ne pouvait appartenir à f(I) donc f est de signe constant sur I.

* f(0)= cos(sin(0))-sin(cos(0))=cos(0)-sin(1)=1-sin(1)0,159 >0

donc f est strictement positive sur I et par 2pi-périodicité on en déduit que f est strictement positive sur R

Conclusion :

Pour tout x réel sin(cos(x))< cos(sin(x))

Salut

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Challenge n°28**** 23-10-04 à 14:43

gagnéSoit f(x)=sin(cos(x))

sin(cos(x+2Pi))=sin(cos(x))
-> f est 2Pi périodique.
f(-x) = sin(cos(-x)) = sin(cos(x)) = f(x)
-> f est paire.

Soit g(x) = cos(sin(x))

cos(sin(x)) = cos(-sin(x)) = cos(sin(-x)) = cos(sin(x+Pi))
-> g est Pi périodique.
g(-x) = cos(sin(-x)) =  cos(-sin(x)) =  cos(sin(x)) = g(x)
-> g est paire.

f(x) - g(x) est donc 2Pi périodique et paire.
On peut donc limiter l'étude de f(x) - g(x) pour x dans [0 ; Pi].
L'extension sur R se faisant par la périodicité et la parité de [f(x) - g(x)]
-----
f '(x) = -cos(cos(x)).sin(x)
comme -1 <= cos(x) <= 1, on a -cos(cos(x)) < 0 et donc f '(x) a le signe contraire de sin(x)

f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; Pi[
f '(x) = 0 pour x = Pi
-> f(x) est décroissante

g'(x) = -sin(sin(x)).cos(x)
comme 0 <= sin(x) <= 1, on a -sin(sin(x)) < 0 pour x dans ]0;pi[ et donc g'(x) a le signe contraire de cos(x)

g'(x) = 0 pour x = 0
g'(x) < 0 pour x dans ]0;Pi/2[ -> g(x) est décroissante.
g'(x) = 0 pour x = Pi/2
g'(x) > 0 pour x dans ]Pi/2;Pi[ -> g(x) est croissante
g'(x) = 0 pour x = Pi
-----
f(Pi/2) = sin(cos(Pi/2)) = sin(0) = 0
g(Pi/2) = cos(sin(Pi/2)) = cos(1) = 0,54... > 0

Avec f(Pi/2) < g(Pi/2)
et f(x) décroissante sur [Pi/2 ; Pi]
et g(x) croissante sur [Pi/2 ; Pi]
Des 3 lignes précédentes, on conclut que:
f(x) < g(x) pour x dans [Pi/2 ; Pi]
sin(cos(x)) < cos(sin(x)) pour x dans [Pi/2 ; Pi]   (1)
-----
Avec x dans [0 ; Pi/2]

sin(cos(x)) - cos(sin(x)) = sin(cos(x)) - cos(V(1-cos²(x)))   avec V pour racine carrée. (La racine carrée avec le signe + puisque x dans [0 ; Pi/2]).
Pour facilité l'écriture, posons cos(x) = X, on a X dans [0 ; 1]

sin(cos(x)) - cos(sin(x)) = sin(X) - cos(V(1-X²)) avec X dans [0 ; 1]

h(X) = sin(X) - cos(V(1-X²)) avec X dans [0 ; 1]
h(X) est continue.

Cherchons si h(X) peut s'annuler dans [0 ; 1]
h(X) = 0 si sin(X) = cos(V(1-X²))
Soit: sin(X) = sin((Pi/2) - V(1-X²))
a)
X = (Pi/2) - V(1-X²)
V(1-X²) = (Pi/2) - X
Les 2 membres sont positifs ->
1-X² = (Pi²/4) + X² - Pi.X
2X² - Pi.X +  (Pi²/4)-1 = 0
Le discriminant de cette équation est < 0 -> il n'y a pas de solution réelle.

b)
X = Pi - [(Pi/2) - V(1-X²)]
X = (Pi/2) + V(1-X²)
V(1-X²) = X - (Pi/2)
Le membre de gauche est positif et celui de droite est négatif ->  il n'y a pas de solution réelle.

Donc h(x) ne peut jamais s'annuler.
Comme h(x) est continue sur [0 ; 1], on conclut que h(X) a partout le même signe dans [0 ; 1]
h(0) = sin(0) - cos(V(1-0²) = 0 - cos(1) = -0,54...

et donc h(X) < 0 pour X dans [0 ; 1]

En se rappelant (voir avant) que:
x dans [0 ; Pi/2] correspond à X dans [0 ; 1]
et que on a posé cos(x) = X, il vient:

h(X) < 0 pour X dans [0 ; 1]
sin(X) - cos(V(1-X²)) < 0 avec X dans [0 ; 1]
sin(cos(x)) - cos(V(1-cos²(x))) < 0 avec x dans [0 ; Pi/2]
sin(cos(x)) - cos(sin(x)) < 0 avec x dans [0 ; Pi/2]

sin(cos(x)) < cos(sin(x)) avec x dans [0 ; Pi/2] (2)
-----
(1) et (2) ->

sin(cos(x)) < cos(sin(x)) pour x dans [0 ; Pi]
sin(cos(x)) - cos(sin(x)) < 0 pour x dans [0 ; Pi]   (3)

Comme on a montré (voir début) que f(x) - g(x) est 2Pi périodique et paire.
-> on a donc avec (3):

sin(cos(x)) - cos(sin(x)) < 0 pour x dans R
sin(cos(x)) < cos(sin(x)) pour x dans R
-----

Posté par
Belge-FDLE
re : Challenge n°28**** 24-10-04 à 17:46

gagnéSalut à tous ,

Alors voici comment je procéderais pour démontrer cela :

*Périodicité des fonctions :
-Tout d'abord, il faut remarquer que l'on a (pour 2$k\in\mathbb{Z}) :

2$\rm~cos(x+2k\pi)~=~cos(x)
d'où  2$\rm~sin(cos(x+2k\pi))~=~sin(cos(x))
càd  2$\rm~sin(cos(x[2\pi]))~=~sin(cos(x))

-De même, on a :

2$\rm~sin(x+2k\pi)~=~sin(x)
d'où  2$\rm~cos(sin(x+2k\pi))~=~cos(sin(x))
càd  2$\rm~cos(sin(x[2\pi]))~=~cos(sin(x))

CONCLUSION : Ces deux fonctions sont périodiques de période 2$2\pi.


**Parité :
-On remarque également que l'on a (pour 2$h\in\mathbb{R}) :

2$\rm~cos(-h))~=~cos(h)     (car la fonction cos est paire)
2$\rm~sin(cos(-h))~=~sin(cos(h))  

Ce qui traduit que la fonction  2$x\to~sin(cos(x))  est paire.

-De même, on a :

2$\rm~sin(-h)~=~-sin(h)     (car la fonction sin est impaire)
2$\rm~cos(sin(-h))~=~cos(-sin(h))  
2$\rm~cos(sin(-h))~=~cos(sin(h))     (car la fonction cos est paire)

Ce qui traduit que la fonction  2$x\to~cos(sin(x))  est paire.

CONCLUSION : Ces deux fonctions sont paires (et graphiquement, leurs courbes représentatives admettent donc l'axe des ordonnées pour axe de symétrie).


Conséquences de ces études préliminaires :
   *Comme ces deux fonctions sont périodiques de péridode 2$2\pi, il suffit d'étudier chacune des ces deux fonctions sur un intervalle de longueur 2$2\pi, pour connaître leur comportement sur 2$\mathbb{R} (il suffira de répliquer cet intervalle indéfiniment) : on choisira pour cette démonstration l'intervalle 2$[-\pi;\pi].
   *Comme ces deux fonctions sont paires, on peut restreindre notre étude à l'intervalle 2$[0;\pi].



***ÉTUDE DES 2 FONCTIONS :

-Sur l'intervalle 2$[0;\frac{\pi}{2}] :
Sur cet intervalle, on a :

2$\rm~0~\leq~~cos(x)~\leq~~1
d'où  2$\rm~sin(0)~\leq~~sin(cos(x))~\leq~~sin(1)
càd  2$\rm~0~\leq~~sin(cos(x))~\leq~~0,85

et

2$\rm~0~\leq~~sin(x)~\leq~~1
d'où  2$\rm~cos(1)~\leq~~cos(sin(x))~\leq~~cos(0)
càd  2$\rm~0,54~\leq~~cos(sin(x))~\leq~~1

Cette étude ne suffit pas, il faut approfondir.

*Déterminons les variations de nos deux fonctions sur cette intervalle, en étudiant le signe de leurs dérivées sur cet intervalle :

2$\rm~\frac{d}{dx}(sin(cos(x))~=~-sin(x)\times~cos(sin(x))
et
2$\rm~\frac{d}{dx}(cos(sin(x))~=~cos(x)\times~(-sin(cos(x)))

Or, sur l'intervalle 2$[0;\frac{\pi}{2}], cos(x) et sin(x) sont positifs et donnent des valeurs comprisent dans l'intervalle 2$[0;1]. Or, cos(x) et sin(x) sont aussi positifs sur l'intervalle 2$[0;1].
On a donc :

2$\rm~sin(x)~\geq~~0
2$\rm~cos(sin(x))~\geq~~0
2$\rm~-sin(x)\times~cos(sin(x))~\leq~~0

et de même :

2$\rm~cos(x)~\geq~~0
2$\rm~sin(cos(x))~\geq~~0
2$\rm~-sin(cos(x))~\leq~~0
2$\rm~cos(x)\times(-sin(cos(x))~\leq~~0

Conclu : Les fonctions 2$x\to~sin(cos(x)) et 2$x\to~cos(sin(x)) sont décroissantes sur l'intervalle 2$[0;\frac{\pi}{2}]

\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline~x&0& & & &\frac{\pi}{2}\\\hline~{cos(x)}&1& & & &0\\{sin(cos(x))}&0,85& &\searrow& &0\\\hline~{sin(x)}&0& & & &1\\{cos(sin(x))}&1& &\searrow& &0,54\\\hline~\end{tabular}

**Voici plusieurs calculs permettant de compléter le tableau :
2$\rm~cos^{-1}(sin^{-1}(0,53))~\approx~~0,978
et 2$\rm~cos(sin(0,978))~\approx~~0,675

2$\rm~cos^{-1}(sin^{-1}(0,66))~\approx~~0,766
et 2$\rm~cos(sin(0,766))~\approx~~0,769

2$\rm~cos^{-1}(sin^{-1}(0,76))~\approx~~0,529
et 2$\rm~cos(sin(0,529))~\approx~~0,875

On obtient alors le tableau suivant, qui nous permet de conclure :

\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline~x&0&&0,529&&0,766&&0,978&&\frac{\pi}{2}\\\hline~{cos(x)}&1&&&&&&&&0\\{sin(cos(x))}&0,85&\searrow&0,76&\searrow&0,66&\searrow&0,53&\searrow&0\\\hline~{sin(x)}&0&&&&&&&&1\\{cos(sin(x))}&1&\searrow&0,875&\searrow&0,769&\searrow&0,675&\searrow&0,54\\\hline~\end{tabular}

Conclusion : Sur l'intervalle 2$[0;\frac{\pi}{2}], on bien 2$cos(sin(x))>sin(cos(x))



-Sur l'intervalle 2$[\frac{\pi}{2};\pi] :
Sur cet intervalle, on a :

2$\rm~-1~\leq~~cos(x)~\leq~~0
d'où  2$\rm~sin(-1)~\leq~~sin(cos(x))~\leq~~sin(0)
càd  2$\rm~-0,85~\leq~~sin(cos(x))~\leq~~0

et

2$\rm~0~\leq~~sin(x)~\leq~~1
d'où  2$\rm~cos(1)~\leq~~cos(sin(x))~\leq~~cos(0)
càd  2$\rm~0,54~\leq~~cos(sin(x))~\leq~~1

Conclusion : Sur l'intervalle 2$[\frac{\pi}{2};\pi], on bien 2$cos(sin(x))>sin(cos(x))



CONCLUSION GÉNÉRALLE
Ainsi, on a bien  2$cos(sin(x))>sin(cos(x))  sur l'intervalle  2$[0;\pi].
Comme les deux fonctions  2$x\to~sin(cos(x))  et  2$x\to~cos(sin(x))  sont paires, on a également  2$cos(sin(x))>sin(cos(x))  sur l'intervalle  2$[-\pi;0].
Ainsi, on a  2$cos(sin(x))>sin(cos(x))  sur l'intervalle  2$[-\pi;\pi]  qui a une longueur de  2$2\pi.
On a donc  2$cos(sin(x))>sin(cos(x))  pour tout  2$x\in\mathbb{R}.


Voili, voilou .
Bonne chance à tous , et merci à Puisea pour cette énigme .
En espérant avoir juste ,

À +

Posté par moor31 (invité)re : Challenge n°28**** 24-10-04 à 18:44

gagnéJ'ai trois pages sur mon brouillon alors je me permet de condenser quelque peu...
Les 2 fns sont periodiques de période 2 Pi
Considerons onc le probleme sur [-pi;pi]
sin[cos(x)]-cos[sin(x)] est impaire, donc on peut considérer le probleme sur [0;Pi]
sin(cosx) est strictement négatif sur [Pi/2;Pi]
alors que cos[sin(x)] est strictement positif donc pas de solution sin[cos(x)]=cos[sin(x)]
Soit y = sin x, z = cosx, nous savons que cos(q) = sin(q + Pi/2 )
On montre facilement que :
z = (y+pi/2) + 2*n*pi pout tout entier n (a)
  = pi + (y+pi/2) + 2*n*pi (b)
On montre apres que z-y n'a pas de solutions à l'aide de l'eqn (a)
On resouds z+y, cela ne marche que si n=0 soit :
cosx+sin x = pi/2
Ceci n'a pas de solutions  sur [0;pi/2]
Donc sin[cos(x)]=cos[sin(x)] n'a ps de solution sur [0;Pi/2]
D'ou sin[cos(x)]=cos[sin(x)] n'a ps de solution sur IR
sin(cos(pi/2))=0 cos(sin(pi/2))=cos(1)
Donc sin[cos(x)] < cos[sin(x)]
c'est long mais cela marche bien
CQFD

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
Bravo !!! 24-10-04 à 19:39

Voila, alors là je suis vraiment bluffer, non pas parsque vous avez réussi , mais de part la longueur des réponses !! c'est énorme, alors j'ai remarqué des fâçons de faire différentes, mais qui aboutissent à des résultats correctes...

Mes félicitations à tous, notemment à belge-FDLE à qui one ne peut rien reprocher à part quelques fautes d'orthographes mais bon je peux pas dire que je fais mieux

Encore bravo à tous, je suis estomaqué !! je vais mettre une énigme un peu plus facile pour les autres et j'annoncé dès à présent une absence de ma part du jeudi 27 octobre au mercredi 2 novembre durant laquelle une méga énigme sera posée

En espérant cette fois-ci pour voir ouvrir une poissonnerie !! allez @+

___________________________________________________

Voila, c'était une bonne énigme du niveau prepa, j'ai trouvé très intéressant de faire cette énigme car elle apparait simple... et surtout, j'ai trouvé la correction très intéressante... bravo à tout ceux qui ont pris la peine d'essayer de résoudre cette énigme... voila la correction

Correction :

On a :

sin[cos(x)] < cos[sin(x)] 0 < cos[sin(x)] - sin[cos(x)]
sin[cos(x)] < cos[sin(x)] 0 < cos[sin(x)] - cos[\frac{\pi}{2} - cos(x)]

En utilisant cette formule : cos a - cos b = -2sin\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2} , on a :

cos[sin(x)] - cos[\frac{\pi}{2} - cos(x)] = -2.sin[\frac{\pi}{4}+\frac{sin(x)-cos(x)}{2}].sin[\frac{sin(x)+cos(x)}{2}-\frac{\pi}{4}]

cos[sin(x)] - cos[\frac{\pi}{2} - cos(x)] = 2.sin[\frac{\pi}{4}+\frac{sin(x)-cos(x)}{2}].sin[\frac{\pi}{4}-\frac{sin(x)+cos(x)}{2}] car sin(-x) = -sin x.

Or :

sin x - cos x = \sqrt{2}.sin(x-\frac{\pi}{4}) et sin x + cos x = \sqrt{2}.sin(x+\frac{\pi}{4}).

On passe à la valeur absolue et on trouve :

|sin x - cos x| \sqrt{2} < \frac{\pi}{2} et |sin x + cos x| < \frac{\pi}{2}.

On arrive alors à :

0 < \frac{\pi}{4}+\frac{sin(x)-cos(x)}{2} < \frac{\pi}{2} et 0 < \frac{\pi}{4}-\frac{sin(x)+cos(x)}{2} < \frac{\pi}{2}

Mais sur [0 ; \frac{\pi}{2}], sin est positive. Maintenant, on repart à l'envers et on trouve bien :

sin[cos(x)] < cos[sin(x)], pour tout x réel.


Voila, relisez-la plusieurs fois car j'ai mis du temps à tout retaper
Prochaine énigme dans une tite heure...

Posté par
Anthony
re : Challenge n°28**** 24-10-04 à 20:11



moi aussi je suis bluffer je n'aurais jamais eu le courage de tout lire ... ( et de tout écrire a leur place )

une si petite énigme pour une si grande réponse !

bravo pour le sans-fautes ( je parle pas des fautes d'orthographe  )




Posté par LNb (invité)un peu plus court peut-être 05-11-04 à 09:00

Bonjour,

je sais que la réponse arrive un peu tard, mais il me semble qu'avec les mêmes idées, on peut faire plus court.

\cos(x) - \sin(x) = \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2} < \frac{\pi}{2}
De même
\cos(x) + \sin(x) <\frac{\pi}{2}

Donc \cos(x)<\frac{\pi}{2}+ \sin(x) (a)
et \cos(x)<\frac{\pi}{2}- \sin(x) (b)

Qui se résume en \cos(x)<\frac{\pi}{2}- |\sin(x)|

La fonction sin est croissante sur [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].
\cos(x) \in [-1;1] donc \cos(x) \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].
|\sin(x)| \in [0;1] donc \frac{\pi}{2}- |\sin(x)| \in [0;\frac{\pi}{2}].
on peut donc appliquer le sin à l'inégalité:
\sin(\cos(x))<\sin(\frac{\pi}{2}- |\sin(x)|)
donc sin(cos(x)) < cos(|sin(x)|) puis sin(cos(x)) < cos(sin(x))

C'est ainsi démontrable uniquement avec des outils de fin de 1erS

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 17:57:46.


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