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Challenge n°37***

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
10-11-04 à 17:36

Soit m un nombre entier pair et n un nombre entier quelconque. Quel alors la parité de (m+1)²+n(m+1) ?

Une condition peut être fixée pour la réponse.

Bonne chance à tous

Posté par mizoun (invité)reponse 10-11-04 à 18:07

gagné(m+1)²+n(m+1)=(m+1)(n+m+1)
or m+1 est impair pour tout m pair
donc si n est pair n+m+1 est impair donc              impair x impair=impair donc (m+1)²+n(m+1) est impair
   si n est impair n+1+m est pair          
impair x pair =pair donc (m+1)²+n(m+1) est pair

Posté par Frip44 (invité)re : Challenge n°37*** 10-11-04 à 18:13

perduBonjour Puisea !!!


Alors avec m un nombre entier pair, on a m+1 impaire et donc (m+1)² impaire...deplus pour n(m+1) deux cas se posent :
1)n est paire :
Donc n(m+1) est impair et donc (m+1)²+n(m+1) est pair car la somme de deux entiers de même parité est toujours pair (si ça se dit)...

2)n est impair :
Donc n(m+1) est pair et donc (m+1)²+n(m+1) est impaire car la somme de deux entiers de parité différente est impaire...

Voili voilà !!! (mon raisonnement me parait tout de même assez "bizarre"...)

Posté par
siOk
re : Challenge n°37*** 10-11-04 à 19:04

perduBonjour,

n est pair  si et seulement si  (m+1)²+n(m+1) est impair


Posté par TiTan (invité)Solution 10-11-04 à 19:56

Etablissons tout d'abord quelques règles générales, que l'on peut facilement établir en considérant les restes  de divisions euclidiennes par deux et l'usage des modulos ( cf. cours de spé maths de terminale, post-bac ), ainsi que diverses autres formes de démonstration :

la somme de deux entiers de même parité est paire.
La somme de deux entiers de parité différente est impaire.
Le produit d'un entier pair avec un entier quelconque donnera un nombre pair.
Le produit de deux entiers impairs est impaire.

On en arrive alors à dire :
m paire, 1 impair, donc m+1 impair
m+1 impair, donc (m+1)² = (m+1)(m+1) est impair

Alors se présentent deux cas selon la parité de n :

si n pair, n(m+1) pair
et donc (m+1)²+n(m+1) impair

si n impair, n(m+1) impair
et donc (m+1)²+n(m+1) est pair.

Donc, la réponse est :
Si n pair,
Alors (m+1)²+n(m+1) impair
Sinon (m+1)²+n(m+1) pair

Posté par Emma (invité)re : Challenge n°37*** 10-11-04 à 20:15

Salut

Ma réponse :
<font size=2>si m est un entier pair et n un entier quelconque, alors (m+1)^2 + n.(m+1) est de parité contraire à celle de n</font>

En effet :
(m+1)^2 + n.(m+1) = (m+1).[ (m+1) + n ]


Par hypothèse, m est pair. Donc il existe k entier naturel tel que   m = 2.k
Et donc m+1 = 2.k+1 est un nombre impair.

Premier cas : Si n est également pair :

Alors il existe k' entier naturel tel que n = 2.k'
Donc    (m+1)^2 + n.(m+1) = (2.k+1).[ 2.k+1 + 2.k' ]
Donc    (m+1)^2 + n.(m+1) = (2.k+1).[ 2.(k+k')+1 ]
Donc    (m+1)^2 + n.(m+1) est le produit de deux nombres impairs... c'est un nombre impair également (je l'admettrais...)

Second cas : Si n est impair :
Alors il existe k' entier naturel tel que n = 2.k'+1
Donc    (m+1)^2 + n.(m+1) = (2.k+1).[ 2.k+1 + 2.k'+1 ]
Donc    (m+1)^2 + n.(m+1) = (2.k+1).[ 2.(k+k'+1) ]
Donc    (m+1)^2 + n.(m+1) est le produit d'un nombre impair et d'un nombre pair... c'est donc un nombre pair !

@+
Emma

Posté par
dad97 Correcteur
re : Challenge n°37*** 10-11-04 à 20:22

gagnéBonsoir,

m est pair donc il existe p entier naturel tel que m=2p

On a alors :
(m+1)^2+n(m+1)= (2p+1)^2+n(2p+1)
= 4p^2+4p+1+2np+n
= 2\times(2p^2+2p+np)+n+1

La seule façon d'obtenir un nombre pair (resp. un nombre un impair) en faisant la somme d'un nombre pair et d'un autre nombre est que cet autre nombre soit pair (resp. impair)

(m+1)^2+n(m+1) est donc de même parité que n+1 :

Conclusion :[/b]

[b]Si n est pair alors (m+1)^2+n(m+1) est impair.
Si n est impair alors (m+1)^2+n(m+1) est pair


Salut

Posté par
franz
re : Challenge n°37*** 10-11-04 à 20:26

gagné(m+1)²+n(m+1) = (m+1)(m+1+n)

m+1 est impair et le produit d'un impair "i" par un entier "n" a la même parité que "n".

la parité de (m+1)²+n(m+1) est celle de (m+1+n) c'est à dire celle de n+1.

En résumé
si n est pair ,(m+1)²+n(m+1) est impair
si n est impair ,(m+1)²+n(m+1) est pair

Posté par claireCW (invité)re : Challenge n°37*** 10-11-04 à 23:12

gagné(m+1)² + n.(m+1) = (m+1)(n+m+1)

m est pair, donc m+1 est impair.
Si n = -(m+1), l'expression vaut 0, donc est pair.
Si n est pair, n+m+1 est impair, donc l'expression est impair (produit de 2 nombres impair)
Si n est impair, n+m+1 est pair, donc l'expression est paire

Posté par Ben (invité)re : Challenge n°37*** 11-11-04 à 00:41

(m+1)² est toujours impair car m²+2m+1la somme de 2 nombre pair et d'un nombr eimpair sera impaire
Si n est pair
alors n*(m+1) sera pair car n*m+n = ,somme de 2 nombres pair.
donc
(m+1)²+n(m+1) sera impair

Si n est impair:
alors n*(m+1)  somme d'unh pair et d'un impair donc n*(m+1) est impair
(m+1)²+n(m+1) sera pair car l'on ajoute 2 nombre pair

Posté par zineb (invité)re : Challenge n°37*** 11-11-04 à 02:49

alors je m'aventure ... m est pair
si n est pair alors la somme qu'on a est impaire.
si n est impair alors la somme qu'on a est paire.

ciao

Posté par Khawarezmi (invité)re : Challenge n°37*** 11-11-04 à 13:43

gagném pair donc (m+1)^2 est tjs impair
donc la condition de parité dépend de n
(m+1) impair donc :
si n est pair alors n(m+1) sera pair et (m+1)^2+n(m+1) est impair
sinon n(m+1) sera impair et (m+1)^2+n(m+1) est impair
d'ou  (m+1)^2+n(m+1) si et seulememt si n est impair

Posté par Khawarezmi (invité)re : Challenge n°37*** 11-11-04 à 13:45

gagnéune faute d'orthographe: l'avant derniere ligne je voulait dire que si n est impair alors (m+1)²+n(m+1) sera pair  

Posté par somarine (invité)re : Challenge n°37*** 11-11-04 à 14:19

gagnéBonjour,

m est pair donc m=2p

(m+1)²=(2p+1)²=4p²+1+4p c'est impair
n(m+1)=n(2p+1): cela dépend de n

si n est pair alors n(m+1) est pair
et (m+1)²+n(m+1) est impair

si n est impair alors n(m+1) est impair et (m+1)²+n(m+1) est pair.

En résumé, si n est pair alors (m+1)²+n(m+1) est impair.
Si n est impair alors (m+1)²+n(m+1) est pair.

Est ce bon?

Posté par Shobu (invité)re : Challenge n°37*** 11-11-04 à 19:20

perduenfaite j'ai pas vraiment compris la question mais je veux comme meme tenter voila ce que je dis

si n est pair alors tout (la reponse)sera paire
si n est impaire alors tout(la reponse ) sera impaire

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°37*** 11-11-04 à 19:48

Bravo à tout ceux qui ont participé à cette énigme !! Vous pourrez retrouver une réponse détaillé et arguementée dans les messages précédents notamment ceux de somarine, dad97, Emma, TiTan ...

Prochaine énigme dans un cour instant...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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