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Challenge n°56**

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
11-12-04 à 07:59

Bonjour tout le monde, voici une nouvelle énigme :

combien existe-il de nombre(s) entier(s) naturel(s) N tel que: \frac{N+11}{N+7} soit entier ?

Bonne chance à tous !!

Posté par pietro (invité)re : Challenge n°56 11-12-04 à 09:49

\frac{N + 11}{N + 7} = 1 + \frac{4}{N + 7}
Quel que soit l'entier naturel N la fraction \frac{4}{N + 7} a son dénominateur qui vaut au minimum 7. Cette fraction sera donc toujours un nombre réel au plus égal à \frac{4}{7}, et qui va bien sur en diminuant quand N augmente. Cette fraction ne sera jamais par conséquent un nombre entier, et ajoutée à l'entier 1 même chose.
En résumé plus grande valeur de l'expression : \frac{11}{7}=1,58... Si n tend vers l'infini, la valeur de la fraction tend vers 0, et l'expression tend vers 1. Mais l'infini n'est pas un entier, donc il n'y a acune valeur de N entier naturel qui rende
\frac{N + 11}{N + 7} entier.

Posté par gilbert (invité)re : Challenge n°56** 11-12-04 à 10:53

gagnéOn démontre facilement que la fonction f(x) = (x +11)/(x+7) est décroissante sur+ donc sur et bornée par 1.
La valeur de la fraction pour la plus petite valeur de N, soit N=1 est égale à 12/8=3/2.

Donc on a 3/2(N+11)/(N+7)< 1.
Il est donc impossible que cette fraction soit égale à un entier !!!

Posté par
isisstruiss
re : Challenge n°56** 11-12-04 à 10:57

gagnéIl n'en existe aucun!
Pour le voir, il suffit de considérer la suite x_N=\frac{N+11}{N+7}\quad N\in \mathbb{N}. Il est facile de voir que cette suite est décroissante (si ce n'est pas intuitif calculer x_N-x_{N+1} ) et la première valeur de la suite est x_0=\frac{11}{7}\approx1.57 La suite étant donc décroissante les seules valeurs entières possibles seraient x_N=1 et x_N=0, mais il n'existe pas de N entier naturel tel que x ait une de ces valeurs là. D'ailleurs la limite de la suite (quand N va vers l'infini) est 1, donc plus N est grand plus on se rapproche du nombre N cherché, mais on n'y arrive jamais!

Posté par
Lopez
re : Challenge n°56** 11-12-04 à 11:30

gagnéAucun

Posté par
Ksilver
re : Challenge n°56** 11-12-04 à 12:32

gagnéon pose(N+11)/(N+7) =k

N+11=/=N+7 donc K est different de 1 donc K>=2

on pose f(x)=(x+11)/(x+7) (pour tous x reel positif)

la fonction est derivable sur R+

f'(x)=(X+7-X-11)/(x+7)² = -5/(x+7)²
f'(x) < 0
donc f(x) est decroissante sur R

donc la fonction N-->(N+11)/(N+7) pour tous N entier naturel est deroissante or pour N=1 K=11/7 k<2 donc pour tous N superieur a 1 K<2 et comme K >1 K ne peut pas etre un entier


DONC il n'existe aucun entier naturel telle que (N+11)/(N+7) soit un entier.

Posté par ametist (invité)1er essai 11-12-04 à 12:33

gagné
Comme N>=0, le résultat est forcément positif donc le résultat est également entier naturel :
N=0  ==> (N+11)/(N+7)=11/7 pas entier
Si (N+11)/(N+7) = i avec i>1 car N+11 > N+7
on a N*(1-i)=7*i-11  et 1-i < 0 et 7*i-11 > 0
donc N<0 ce qui est impossible

==> Pas de solution

Posté par
franz
re : Challenge n°56** 11-12-04 à 13:51

gagné \frac {N+11}{N+7}=\frac {N+7+4} {N+7} = 1 + \frac {4} {N+7}

Comme N \in \mathbb N

N \ge 0
N+7 \ge 7
0\lt \frac 1 {N+7} \le \frac 1 7
0 \lt \frac 4 {N+7} \le \frac 4 7
1 \lt 1+\frac 4 {N+7} \le \frac {11} 7 \lt 2
1 \lt \frac {N+11} {N+7} \lt 2

Il n'existe pas d'entier strictement compris entre 1 et 2.


Il n'existe pas d'entier naturel N tel que  \frac {N+11}{N+7} \in \mathbb N


(En revanche, si on assouplit la contrainte sur N et que l'on recherche des solutions dans \mathbb Z, l'équation admet l'ensemble des solutions suivant :
N \in \{-11,-9,-8,-6,-5,-3\})

Posté par
Nofutur2
re : Challenge n°56** 11-12-04 à 14:54

gagnéPour N , (N+11)>(N+7).
Donc si (N+11)/(N+7)est entier, il est au moins égal à 2.
Soit N+112(N+7)
Donc, N-3, ce qui est impossible puisque N .
Il y a donc aucune valeur de N entier naturel, tel que N+11/N+7 soit entier.

Posté par c_mout (invité)re : Challenge n°56** 11-12-04 à 15:07

perdul'ensembles des solutions s'étend sur -l'infini ; +l'infini, sauf {-11;-7}

Posté par nyko_71 (invité)re : Challenge n°56** 11-12-04 à 15:32

gagnéIl n'en existe pas car la fonction N   N+11/N+7 est strictement décroissante sur   [0;+ [ et de plus elle a pour valeur en 0 ,  11/7   ]1;2[ et est équivalente en +  a 1...
Donc un tel entier N n'existe pas car il n'ya pas d'entier dans ]1;11/7].

Posté par
Belge-FDLE
re : Challenge n°56** 11-12-04 à 16:19

gagnéSalut à tous ,

Ma réponse est : Aucun.

Raisonnement :
On a :
2$\rm~\frac{N+11}{N+7}~=~\frac{N+7+4}{N+7}~=~1+\frac{4}{N+7}
Ainsi, pour que  2$\frac{N+11}{N+7}  soit entier, il faut que  2$\frac{4}{N+7}  soit aussi un entier
Comme N entier naturel, on a : 2$\rm~0~<~\frac{4}{N+7}~<~\frac{4}{7}~<~1.
Par conséquent,  2$\frac{4}{N+7}  ne peut être entier si N est un entier naturel, et il en va de même pour  2$\frac{N+11}{N+7}

Conclusion : On ne peut trouver aucun entier naturel N qui convienne.

Voili, voilou .
Bonne chance à tous , et merci à Puisea pour cette énigme .

À +

Posté par pinotte (invité)re : Challenge n°56** 11-12-04 à 17:16

gagnéJ'aime pas ce genre d'énigmes, mais je tente ma chance quand même.

\frac{n+11}{n+7} = k  tel que k\mathbb{N}
n+11 = k(n+7)
n+11 = kn+7k
n-kn = 7k-11
n(1-k) = 7k-11
n = \frac{7k-11}{1-k}

Les nombres n doivent donc être de cette forme. On remarque que peu importe la valeur de k\mathbb{N} (sauf 1), on obtiendra un numérateur positif et un dénominateur négatif, ce qui nous donne une valeur négative pour n. Or, n\mathbb{N}, donc ne peut prendre aucune valeur négative!

Il n'y a donc aucun entier naturel répondant à cette condition.

Posté par ericbfd (invité)re : Challenge n°56** 11-12-04 à 18:20

gagnéSi \frac{N+11}{N+7} est un entier, alors on a: \frac{N+11}{N+7}=M tel que M
D'oú N=\frac{7M-11}{1-M}
Puisque N est entier naturel, il faut que :
\frac{7M-11}{1-M}\ge0
Cela est vrai si numerateur et denominateur sont de mème signe :

Cas 1: 7M-11\ge0 et 1-M\ge0 impliquent que M\ge\frac{11}{7} et M\le1.Il n'existe donc aucune valeur de M pour laquelle le numerateur et le denominateur de la fraction soient positifs.

Cas 2: 7M-11\le0 et 1-M\le0 impliquent que M\le\frac{11}{7} et M\ge1.Il n'existe donc aucune valeur de M pour laquelle le numerateur et le denominateur de la fraction soient positifs.


1-M\l0

Posté par jetset (invité)re : Challenge n°56** 11-12-04 à 19:11

gagnéAucun

Posté par daniel12345 (invité)Challenge n°56 11-12-04 à 22:07



  Pas de solution

Posté par Korpakyman9 (invité)re : Challenge n°56** 11-12-04 à 23:26

gagnéil n'en existe pas n+11/n+7 ne peut pas etre un  entier

Posté par
Archange21
re : Challenge n°56** 12-12-04 à 12:55

gagnéSalut,
Personnellement je dirais [i]aucun[/i]
Comme N alors N0
Or 1\times7<11<2\times7 donc \frac{1\times7}{7}<\frac{11}{7}<\frac{2\times7}{7}\Longrightarrow 1<\frac{11}{7}<2
Ce qui revient à dire : 1<\frac{11+N}{7+N}<2
Par conséquent, il n'existe aucun entier naturel N pour que \frac{11+N}{7+N} soit entier.
Allez, @+

Posté par (invité)re : Challenge n°56** 12-12-04 à 13:49

Bon vu que j'arrive pas à utiliser la mise en forme (il met une ereur :s) J'ai pas les smiley non plus :s

Enfin je vasi quand meme essayer de résoudre ce challenge :

Pour que (N+11)/(N+7) Soit un entier, il faut que
(N+11)/N+7)=k avec k un entier naturel.
N+11=Nk+7k
N(k-1)=11-7k
N=(11-7k)/(k-1)  k étant different de 1

Pour que ce quotient soit un entier, il faut que 11-7k et k-1 soient du meme signe .
11-7k est positif si k<int(11/7) <=> k<=1

k-1 est positif si k>1

Si on regarde les possibilités pour que k réunisse ces deux conditions, on s'apercoit qu'il n'y en a aucune

Ma réponse est donc qu'il n'existe aucun N entier naturel tel que (11+N)/(7+N) soit un entier.

Posté par CastorFantome (invité)re : Challenge n°56** 12-12-04 à 13:51

gagnéJe tiens à m'excuser, le post poster en anonyme est de moi, aillant pas mal de difficulté avec le site qui ne s'affiche que quand il le veut :s , je croyais m'être identifié mais il semblerait que non....

Bon vu que j'arrive pas à utiliser la mise en forme (il met une ereur :s) J'ai pas les smiley non plus :s

Enfin je vasi quand meme essayer de résoudre ce challenge :

Pour que (N+11)/(N+7) Soit un entier, il faut que
(N+11)/N+7)=k avec k un entier naturel.
N+11=Nk+7k
N(k-1)=11-7k
N=(11-7k)/(k-1)  k étant different de 1

Pour que ce quotient soit un entier, il faut que 11-7k et k-1 soient du meme signe .
11-7k est positif si k<int(11/7) <=> k<=1

k-1 est positif si k>1

Si on regarde les possibilités pour que k réunisse ces deux conditions, on s'apercoit qu'il n'y en a aucune

Ma réponse est donc qu'il n'existe aucun N entier naturel tel que (11+N)/(7+N) soit un entier.

Posté par K-tsuo911 (invité)REPONSE 12-12-04 à 16:18

gagnéBONJOUR TT LE MONDE!!

Dans un premier temps je sais que je vais avoir un poisson mais c'est pas grave

Ensuite, pour répondre à cette énigme je serais tenté de dire que les réponses sont 9999999999999999989, 19999999999999999978 ..etc mais ils sont en faites égale à 1.0000000000000000002 donc en conclusion je dirais qu'il n'exite aucun entier N.

Voilà j'espère que c'est assez clair et sinon Bonne chance a tous!!

Posté par
noluck
re : Challenge n°56** 13-12-04 à 12:49

gagnéje pense que je vais dire une anerie... et pourtant je vois pas autrement! je dirai qu il n exite pas d entiers naturels vérifiant ce qui est demande.
(par contre il existe des entiers relatifs : -2, -5 et -6).

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°56** 13-12-04 à 19:35

Bravo à tous pour votre participation, presque un sans faute pour cette énigme. En effet la réponse attendue était : aucun nombre entier naturel.


Prochaine énigme ds un instant


@+

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 13:01:03.
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