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Challenge n°65***

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
15-01-05 à 21:58

Bonsoir, après une longue discussion pour la mise en forme et la justesse de cette énigme avec le conseil des sages, la voilà :

A et B représentent deux chiffres.
On suppose que 0 < A < B.
Formez le plus petit nombre entier en utilisant uniquement les chiffres A et B (les deux sont à utiliser au moins une fois) de telle sorte que le nombre obtenu soit divisible par 7 quels que soient A et B.

Bonne chance à tous.

Posté par Fabien (invité)?? 15-01-05 à 23:43

J'avoue ne pas bien saisir l'énoncé (j'ai bien du le lire 10 fois).
Il doit y avoir une faute de frappe non ? "...les chiffres A et de B..." mais bon c'est pas trop génant.
Et ca ne doit pas être le plus petit entier positif ??

A tout hasard, je propose 7\times(B-A) mais ca sens bien le poisson cette réponse !?

Posté par
isisstruiss
re : Challenge n°65*** 15-01-05 à 23:45

gagnéSi le nombre cherché s'écrit abcdef (6 chiffres en base 10), on a abcdef=1000\cdot abc+def=(1001-1)\cdot abc+def=1001abc-abc+def est divisible par 7. Comme 1001 est multiple de 7, on a que -abc+def est multiple de 7.

Ceci me donne envie de répondre AABAAB à l'énigme. Il ne me reste plus qu'à vérifier qu'il n'y a pas plus petit...

Aucune résolution n'étant démandée dans l'énoncé de l'énigme, je me contenterai de vous raconter que j'ai trouvé un contre-exemple pour chacun des cas donnant un nombre plus petit que AABAAB. Par exemple voici le début:
AB - 17
AAB - 117
ABB - 177
ABA - 171
AAAB - 1117
AABA - 1171
...

On peut sûrement le faire par des équations comme celle du début de mon message, mais j'ai pas envie de me tromper dans les calculs.

Je reste sur la réponse AABAAB multiple de 7 pour tout A et B entier entre 1 et 9.

Posté par jetset (invité)re : Challenge n°65*** 16-01-05 à 01:48

Franchement, l'énoncé est fumeux. Un exemple serait le bienvenu.
Voici ce que j'ai compris:
Il faut former des nombres divisbles par 7 avec des couples de chiffres distincts non nul et comme il est précisé "quelque soit A et B", j'en déduis qu'il faut passer en revue tous les couples au nombre de 45 (12, 13, 14 15 16 17 18 19 23 24 25 etc... 78 79 89)
Donc par exemple pour le couple 12: le plus petit nombre est 21. Pour 13, ce serait 1113 etc...
Si c'est ce qu'il faut faire 45 fois, je laisse tomber: ni poisson, ni smiley pour moi. Merci.

Posté par PolytechMars (invité)des souvenirs! : AAB AAB 16-01-05 à 02:54

gagnéEn se rapellant les proprietes de divisibilté par 7, on fait appel a la propriété selon laquelle : "Tout nombre de six chiffres dont les deux tranches sont identiques est divisible par 7."
Par conséquent, le plus petit nombre entier divisble par 7 quels que soient A et B est :

A A B A A B

A etant stritement inferieur à B et B devant etre utilisé au moins une fois, cette sequence correspond au nombre recherché!

Miaouw à tous et vive les mathematiques!

Miaouw

Posté par
manpower
re : Challenge n°65*** 16-01-05 à 10:16

gagnéTout d'abord il est clair que le nombre est constitué d'au moins 3 chiffres, j'ai donc tenté d'utiliser le critère de divisibilité par 7 (valable pour les nombres de plus de 3 chiffres): Un nombre est divisible par 7 si le résultat de la soustraction du nombre de dizaines par le double du chiffre des unités est divisible par 7.
Mes tentatives de raisonnement dans \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\ (congruence modulo 7) n'ont rien donné. Je suis curieux de voir si certains ont abouti à la réponse via cette méthode.

Reste alors le "tâtonnement ordonné" ou la calculette.

Puisque le nombre cherché doit convenir pour tout A et B, on peut chercher le premier avec A=1 et B=2 (0<A<B).

On peut tenter, en utilisant le critère à l'envers, de former des multiples de 7 ne contenant que des 1 et des 2 (d'abord à 3 chiffres puis à 4,etc.) mais il faut procéder par excès et par défaut et on peut facilement en oublier...

Reste enfin la méthode "bourrin", balayer pas à pas tous les nombres de 3 chiffres constitués de 1 et de 2. On a 2^3-2=6 possibilités
(les combinaisons 111 et 222 étant exclues par l'énoncé (les deux sont à utiliser au moins une fois)):
112
121
122
211
212
221

112 est le seul candidat, exclus car 113 n'est pas divisible par 7.
( A cette étape, on a donc effectué 7 divisions )

On continue de la sorte...
Pour les nombres de 4 chiffres, on a : 2^4-2=14 possibilités
seuls les nombres 1211, 2121 et 2212 sont divisibles par 7, ce qui nous obligent, par 3 autres divisions, à vérifier qu'ils ne conviennent pas.
( A cette étape, on a donc effectué 17 divisions supplémentaires )

Pour les nombres de 5 chiffres, on a : 2^5-2=30 possibilités
seuls les nombres 11221, 12222, 2112 et 22211  sont divisibles par 7, ce qui occasionne 4 autres divisions pour les rejetter. Au passage, merci la calculette !
( A cette étape, on a donc effectué 34 divisions supplémentaires )

Enfin, pour les nombres de 6 chiffres, la persévérance paye car après 9 possibilités nous arrivons sur le nombre 112112 qui convient!
( soit encore 9 divisions de plus )

Mais pour s'assurer qu'il convient il faudra encore exactement 36 divisions (pour vérifier que tous les nombres sur le modèle AABAAB sont divisibles par 7 (113113,114114,...,119119,223223,...,889889) moins celle déja effectué (pour 112112). Soit au total 35 divisions pour gagner la certitude (et le smiley)!

Ainsi, après 7+17+34+9+35=\green 102 divisions, nous avons avec certitude absolue que le plus petit nombre vérifiant les conditions requises est:

4$\red AABAAB      (ouf! )

PS: "Le génie, c'est 1% d'inspiration et 99% de transpiration" [Thomas Edison]
Les maths, c'est pareil... et moi j'ai bien transpiré sur ce coup là!!! (Merci puisea!)

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)re : Challenge n°65*** 16-01-05 à 13:23

gagnéla plus petite solution serait AAAAAA mais elle ne respecte pas l'enoncé puisqu'elle ne contien pas le chiffre B

On choisit donc la solution suivante qui est AABAAB =)

Et voila

Posté par DiabloBoss (invité)challenge 16-01-05 à 14:10

Le plus petit nombre quelque soit A et B est:
7 * ( B - A )

(soit (B-A)+(B-A)+(B-A)+(B-A)+(B-A)+(B-A)+(B-A) pour ceux qui diraient que je n'ai pas utilisé que A et B :] )

Posté par gilbert (invité)re : Challenge n°65*** 16-01-05 à 16:00

gagné1.Je considère tout d'abord B fixe.
Si A varie d'une unité, la différence entre les deux nombres obtenus, multiples de 7, devra être multiple de 7.Cette différence étant constituée de 0 (car B ne varie pas ) et de 1 (car A varie de +1), il faut trouver le nombre minimal composé de 0 et de 1 qui soit multiple de 7. C'est 1001.
J'essaye AB *1001 (A est plus petit que B donc placé avant dans le nombre )et je trouve AB0AB, donc pas valable puisque comportant un zéro.
J'essaye AAB * 1001 et la je trouve AABAAB, qui marche..
ET quelque soit la variation de A entre 1 inclus et B exclu, avec B fixé, on obtient un multiple de 1001, donc multiple de 7.

2. Si B varie et A pouvant être fixe ou non, je vérifie que cette solution AABAAB = AAB * 1001 marche aussi .
La aussi quelque soit la variation de A et de B, on obtient un multiple de 1001, donc multiple de 7.
(exemple 669669 - 445445 = 224 * 1001)

La solution est donc de la forme  AABAAB et la plus petite est : 112 112.

Posté par
franz
re : Challenge n°65*** 16-01-05 à 16:24

gagné               \red \fbox {\Large AABAAB}

Posté par gwa (invité)challenge en cours 17-01-05 à 13:10

gagnéDe la forme : AABAAB

Posté par raulic (invité)réponse 17-01-05 à 13:48

perdubonjour je propose la réponse ABAABA.

Raulic

Posté par daniel12345 (invité)re : Challenge n°65*** 17-01-05 à 15:49



    Bonjour

       Ce nombre est de la forme  AABAAB .

      exemple : 112112 , 889889 qui sont divisibles
                par 7.



        

Posté par
Lopez
re : Challenge n°65*** 17-01-05 à 16:02

gagnéSalut,

Je ne sais pas si j'ai bien compris la consigne mais voilà ce que j'ai trouvé comme plus petit nombre divisible par 7, quels que soient A et B avec 0 < A < B ( A et B étant deux chiffres ) :

                  112112

Tous les nombres de cette forme AABAAB avec 0 < A < B sont divisbles par 7

Posté par
Nofutur2
re : Challenge n°65*** 17-01-05 à 17:08

gagnéSi le nombre cherché et le nombre auquel j'ai ajouté 1 à A et à B sont multiples de 7, leur différence est multiple de 7.
Il faut donc chercher le plus petit nombre constitué de 1 qui soit multiple de 7 : c'est 111 111.
Le nombre cherché comprend donc 6 chiffres..
Pour savoir comment se répartissent les A et les B, j'imagine que l'un varie de 1 et que l'autre ne varie pas. Leur différence constitué de 1 et de 0 est aussi multiple de 7 .Il faut donc chercher le plus petit nombre constitué de 1 et 0 qui soit multiple de 7 : c'est 1001.
Pour que le nombre ait 6 chiffres , qu'il comporte deux chiffres différents et qu'il soit minimal (A<B), il est obligatoirement de la forme  :
(A *100 *1001) + (A * 10 *1001) + (B * 1 * 1001) = AAB AAB.
Le chiffre minimal cherché est donc 112 112.

Posté par pietro (invité)re : Challenge n°65*** 17-01-05 à 20:45

Si j'ai bien compris la question, 161 devrait être la solution car ce nombre, qui est le plus petit possible, ne comporte que deux chiffres, qui sont non nuls; c'est un multiple de 7, et en permutant ces deux chiffres on obtient 616 qui est lui aussi multiple de 7.

Posté par
lasl
re : Challenge n°65*** 17-01-05 à 23:45

perdupeut-etre 7(A+B)

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°65*** 20-01-05 à 07:58

Merci, à tous de votre participation, la bonne réponse était AABAAB comme l'ont démontré nombre d'entre vous

Je tiens à signaler que pour certains critiquant l'ambiguïté de cette énigme, il était vraiment difficile d'enlever entièrement tout doute sur la compréhension de cette énigme. Après un débat avec le conseil des sages, nous avons décidé de tout de même la publier sous cette forme car cette énigme était intéressante.

Prochaine énigme très prochainement (en cours de validation)

Voilou !!
@+

Posté par Fabien (invité)A OK 20-01-05 à 12:10

A bin d'accord je viens de comprendre la question

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°65*** 20-01-05 à 17:30

Mieux vaut tard que jamais

Posté par jetset (invité)re : Challenge n°65*** 20-01-05 à 18:25

C'est dommage: je n'avais vraiment pas compris l'énigme sinon ça aurait été avec plaisir que j'aurais essayé car maintenant que j'ai compris, je la trouve fort intéressante. Peut-être qu'un exemple aurait permis de mieux comprendre. Ceci dit comme je vois qu'un certain nombre de personnes avaient compris, je me dis que la faiblesse de mon QI y est pour quelque chose...

Posté par DivXworld (invité)re : Challenge n°65*** 20-01-05 à 19:05

si j'avais su...
moi je cherchai des combinaison de A et B (du genre AB+BA) et pas un nombre sous la forme ABBABBBA...

c'est vrai qu'un exemple aurait été le bien venu
tant pis

Posté par
manpower
re : Challenge n°65*** 20-01-05 à 19:44

gagnéOuille-Ouille-Ouille !
J'ai VRAIMENT été laborieux sur ce coup là !
Bien vu la divisibilité par 1001 !

Posté par CastorFantome (invité)re : Challenge n°65*** 20-01-05 à 21:16

Jetset je crois que mon QI se rapproche du tiens

J'avzais pas compris qu'il fallait concatener A et B je chercher plutot a les multiplier etc... Et vu que dans l'enoncé c'était dit qu'il y avait eu debat j'ai preferer m'abstenir

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°65*** 21-01-05 à 07:54

Oui c'est vrai que l'ennoncé d'origine que j'avais soumis au conseil des sages, j'avais donné un exemple, et je l'ai supprimé sans faire attention car plusieurs version de l'ennoncé ont été faîte...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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