Il y a quatre valeurs possibles pour n
n=0
n=2
n=6
n=20

Les valeurs possibles pour n=1 sont 1,3,7 et 21
Donc 4 valeurs pour n : 0,2,6,20 (0 est un entier naturel)[i][/i]

Bonjour,je viens juste de voir par hasard l'énigme quelle chance , donc ma réponse est
  
   0;2;6;20
  facile non!

Si on considère la suite , on remarque rapidement qu'elle est décroissante et que sa limite à l'infini est 1. Donc la dernière valeur entière de la suite a lieu à n=20 (). Il suffit donc de considérer les 20 premiers termes de la suite et on a les 4 valeurs entières:


En résumé la réponse est 4 valeurs entières.

Isis

Quatre.

= 1 +
et les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 21
Obtenus pour n = 0 ; 2 ; 6 ; 20

Il y a 4 entiers naturels qui conviennent .
0-2-6-20

Remarque: Pour tout , donc .
On cherche donc tel que
Soit   où  
Il vient = , avec nécessairement .
Il suffit de rapidement tester les possiblités pour obtenir 4 solutions:
       
       
       
    

Conclusion: Il y a valeurs de n (0,2,6 et 20) telles que le quotient soit entier (naturel ou relatif).

Bonjour, je suppose que , par pure constatation quand j'en déduis que la fonction est .

Dans un premier temps je cherche la valeur de pour lequel admet une valeur maximale. D'après ma première constatation si est maximale, de plus il se trouve que , comme est le plus grand nombre entier que admet pour

Bon, il se trouve que

Réponse finale: iL y a 4 entiers naturels

(n+22)/(n+1) = (n+1)/(n+1) + 21/(n+1) = 1 + 21/(n+1)

Pour que 1 + 21/(n+1) soit un entier naturel il faut que 21/(n+1) soit un entier >= 0. Or, cela n'est possible que lors n=20.

Il n'y a donc qu'un entier naturel n tel que (n+22)/(n+1) soit un nombre entier.

Votre site est superbe !

Justin

Bonjour

On a : (n+22)/(n+1) = 1+21/(n+1)

Donc 21/(n+1) doit être entier

donc n=(q_k)-1 avec q_k | 21

Or n>=0 , donc q_k >=1

Or (q_k | 21 ) et q_k >=1 => q_k = {1;3;7;21}

Donc on a : n={0;2;6;20}

Finalement on a "4" entiers naturels n tel que (n+22)/(n+1) soit un entier.

Cordialement Yalcin

J'ai étudié la fonction associée :
f(x) = (x+22)/(x+1)
On constate que cette fonction est décroissante sur [0;+infini[
f(0) = 22 et lim f ---> 1 quand x--> + infini
J'ai utilisé un tableur en étudiant f(n) où n est un entier.
J'ai constaté que pour n>20 f(n)<2 ainsi il n'y a pas d'entier supérieur strictement à 20 tel que f(n) soit entier.
j'ai donc examiné les entiers compris entre 0 et 20(inclu)
J'ai trouvé 4 valeurs de n tel que f(n) soit entier :
f(0) = 22 ; f(2) = 8 ; f(6) = 4 ; f(20) = 2.
Bilan : Il y a 4 valeurs de n tel que (n++2)/(n+1) soit entier. Ces valeurs de n sont 0; 2; 6 et 20.

Bonjour
Réponse rapide : Posons k entier tel que , on a alors c'est à dire or n est un entier positif, ce qui implique k entier compris entre et . Les n correspondants sont , , , et .
Il y a donc 4 SOLUTIONS.

il y en a 4
0, 2, 6, 20, Après, le quotient est inférieur à 2 sans jamais atteindre 1

donc 21 doit être divisible par n+1.
Les diviseurs de 21 sont 1,3,7,21, alors n+1 est égal à un de ces nombres.
Il y a donc quatre solutions : 0,2,6 et 20.

J'en trouve 4!

bijour
alors (n+22)/n+1 = 1 +21/(n+1)
il faut donc que n+1 divise 21 dc
n+1=1
n+1=7
n+1=3
n+1=21
n+1=-1
n+1=-3
n+1=-7
n+1=-21
dc il y ya 8 possibilités

, : , , et .

bonsoir,
(n+22)/(n+1)=1+21/(n+1) est entier si n+1 est un diviseur de 21.
Il y a donc 4 entiers naturels n tel que (n+22)/(n+1) soit un nombre entier.

Salut,

il y en a 4

est donc un entier divisant 21



Il existe 4 entiers naturels pour lesquels

Bonjour,

Réponse : 4

R = (n+22)/(n+1) = (n+1+21)/(n+1) = 1+21/(n+1). Il faut que (n+1) soit diviseur de 21; or 21 = 1 x 3 x 7, d'où les solutions :
n+1 = 1 => n=0 et R=22
n+1 = 3 => n=2 et R=8
n+1 = 7 => n=6 et R=4
n+1 = 21 => n=20 et R=2

Merci pour l'énigme,

Philoux

Bonjour,

Je pense qu'il n'y a que 4 nombres n qui vérifient cette relation: 0, 2, 6 et 20

Explication:
Soit k entier tel que (n+22)/(n+1)=k
On en déduit que n=(22-k)/(k-1)
n doit être entier et positif.
Une étude de signe montre que k doit être compris entre 2 et 22 (car 1 est à  rejeter)
Il suffit donc de tester les quelques cas possibles (admirez le jeu de mots!):
k=2 -> n=20
k=4 -> n=6
k=8 -> n=2
k=22 -> n=0

il y a trois entiers naturels
n = 2, 6, 20

il y en a 3 :
2, 6 et 20.

Je dirais 2 !

Bonjour
Ceci est un authentique raisonnement faux! (n+22)/(n+1)= p ssi n+1|n+22
On voit que 0 est solution. Mais est ce bien la seule hum? Surement pas !
(n+22)/(n+1)= (n+1+21)/(n+1)=1+21/(n+1)
Oh! Il suffit que n+1|21 mais qu'est qui divise 21? +/-1,+/-3,+/-7 et +/-21 ! d'où n (0,-2,2,-4,6,-8,20,-22).
2nde solution :
n+1|n+22 On voit que 0 est solution. Ensuite cela peut se voir comme ca : a) n+22= qp avec p et b) n+1= q car n. En soutrayant a) à b) cela donne 21=q(p-1) soit p=21/q+1 (q0) donc p si q divise 21 soit q=+/-1,+/-21,+/-7,+/-3, donc d'apres b)n=q-1 d'où n(0,-2,20,-22,6,-8,2,-4) (dans le désordre^^)
Il y en a donc 8 je pense. OOups !
Il n'y en a que 4 puisque n est un entier naturel, donc  positif.
D'où finalement n(0,2,6,20) !
J'espère ne pas m'être trompé...
Vince
Merci au site qui se démène pour amuser les esprits !

Bonjour,
Calculons la limite en +infini de la fonction . Cette limite vaut 1. Or sur [0,+inf] f est décroissante donc sur [0,+inf] f(x) appartient à [22,1[ (theoreme de la bijection) . Resolvons  [ => x=20. Donc on n'etudie la divisibilité de n + 22 par n + 1 seulement pour n allant de 0 à 20. Il y a donc quatre nombres n tels que soit un entier naturel.
Les solutions sont :
n=0 d'où f(0)=22
n=2 d'où f(2)=8
n=6 d'où f(6)=4
n=20 d'où f(20)=2.

Bonnes mathémetiques..

Miaouw

on note a|b pour a divise b


on cherche n tel que n+1|n+22. n+1|n+1 donc n+1|n+22-(n+1)
n+1|21

n+1>0 donc n+1 aparitien {1,3,7,21} et n apparien a {0,2,6,20) on a raisoner par impliquation il faut donc verifier c'est solution.

pour n=0 n+22/n+1 = 22
pour n=2 N+22/n+1 = 8
pour n=6 n+22/n+1 = 4
pour n =20 n+22/n+1 = 2

on a donc bien nos 4 sollution 0,2,6,20

bin y'en a  4 !!
bonne soirée
++

Il y en a quatre:
0 ; 2 ; 6 et 20

0;2;6;20

4 entiers naturels !

(n+22)/(n+1)=1 + 21/(n+1)

(n+22)/(n+1) entier <=> 21/(n+1) entier.

reste a chercher les diviseurs de 21 :

1,3,7,21.

donc les valeurs de n recherchees sont 0,2,6,20.
a+.

g failli répondre + mais après réflexion je trouve :
que n obligatoiremant paire et que n=0 ou n=2 ou n=6 ou n=20
n=+ pourrait aller si +appartenait a mais ce n'est pas le cas .
Il y a donc 4 entier naturel qui sont solution
S={0;2;6;20}

P.S.je suis pressé de voir comment on le démontre plus intelligement que moi parceque ma démonstraton c'est calculer tout les cas possibles.

Il existe entiers naturels.

En effet :

D'où les solutions S={0;2;6;20}

salut moi je dirait 10

Eh bien, je pense qu'il y en a une infinité car n+1 signifie beaucoup de nombres à patir de 2 et n+22 beaucoup de nombres à partir de 23.

Je pense que c'est faux mais comme on dit l'essentiel est de participer  .

il y a deux entiers naturels n : 1 et 7

Bonjour

Il y en a 4.

bonjour à tous : 1^ère énigme que je tente, j'espère ne pas me planter !

alors

1 est un entier, donc dépend de

diviseurs naturels de 21 : { 1 ; 3 ; 7 ; 21 }

-> n+1 = 1 <=> n = 0
-> n+1 = 3 <=> n = 2
-> n+1 = 7 <=> n = 6
-> n+1 = 21 <=> n = 20 .

Il y a donc entiers naturels n tel que soit un entier : { 0 ; 2 ; 6 ; 20 }

Les entiers obtenus sont ainsi { 2 ; 4 ; 8 ; 22 }

Merci de votre participation, le bonne réponse était 4.

J'ai une petite question à nos modérateurs, correcteurs, webmaster et autres ayant des droits spéciaux. Je crois savoir que vous corrigez régulièrement des erreurs de balises LaTeX. Ma question est: Pourquoi le message de PolytechMars n'est pas passé par ce type de réédition? C'est peut-être juste un /tex manquant ou quelque chose du genre et là c'est vraiment moche car en plus le message déborde du cadre de la page.

Isis

Un oubli sûrement, c'est corrigé
Merci

Aaaaaaaarg j'ai oublié zéro... pas très malin de réussir les 3 étoiles et de se planter sur une 1 étoile...