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Challenge n°90**

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 09-04-05 à 18:46

Bonjour, nouvelle énigme (on approche de la 100è édition !!) :

Buenos-Aires comporte aujourd'hui 13 millions d'habitants et augmente de 3% par an. La population totale de l'Argentine fait 30 millions d'habitants et diminue de 1% par an. Selon cette perspective, dans combien d'années pourra-t-on approximativement dire que tous les Argentins vivent à Buenos-Aires ?

Bonne chance à tous !

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°90** 09-04-05 à 19:08

gagnéBonjour

Réponse : 21 ans et qq mois et il y aura 24 millons d'argentins à buenos aires

Méthode :
année 0 : maintenant
X=13 habitants de BA (en millions)
Y habitants de BA barre
N=30 habitants de l'argentine

année 1
X=13(1,03) et N=30(0,99)

année 2
X=13(1,03)² et N=30(0,99)²

année n
X=13(1,03)^n et N=30(0,99)^n

il faut X=N
13(1.03)^n=30(0.99)^n

avec les ln
ln13+nln(1.03)=ln30+nln(0.99)
n(ln(1.03)-ln(0.99)=ln30-ln13
n=21.11 ans

Au bout d'un moment, cette loi de progression s'avèrera fausse car si TOUS les habitants de BA croissent à 3%, la population de l'Argentine augmentera aussi.

Merci pour l'énigme

Philoux






Posté par Severus (invité)re : Challenge n°90** 09-04-05 à 19:14

Hello,

En l'an n (en partant du principe que les chiffres de bases sont prises en l'an 0), on a: 13\cdot~10^6(1.03)^n habitants à Buenos-Aires et 30\cdot~10^6(0.99)^n habitants en Argentine. On cherche n tel que 13\cdot~10^6(1.03)^n=30\cdot~10^6(0.99)^n.
On trouve que n vaut environ 21.11, ce qui veux dire que dans approximativement \red21~ans, tous les habitants de l'Argentine seront concentrés à Buenos-Aires (et qu'au bout de 22 ans il y plus d'habitants à Buenos-Aires qu'en Argentine).

Severus

Posté par
Nofutur2re : Challenge n°90** 09-04-05 à 19:19

gagnéIl faudra que 13(1,03)n= 30(0,99)n
ce qui donne n21 ans

A cette époque il y aura un peu plus de 24 millions d'habitants environ en Argentine et à Buénos AIres.
Triste perspective

Posté par
mauricettere : Challenge n°90** 09-04-05 à 19:27

gagnépr buenos aire
un+1 = (1+3/100)*un     u0 = 13.10^6

pr l'argentine:
vn+1 = (1-1/100)*vn     v0 = 30.10^6

dc un = (1+3/100)^n * (13.10^6)
   vn = (1 - 1/100)^n * (30.10^6)

on cherche un = vn
(103/100)^n * 13.10^6 = (99/100)^n * 30.10^6
(103/99)^n = 30.10^6/13.10^6 = 30/13 = 2.307692308

pour n=22 on trouve (103/99)^n = 2.39025735
pour n= 21 on trouve (103/99)^n = 2.297431822

2.307692308 - 2.297431822  = 0.010260486
2.39025735 - 2.307692308 = 0.082565042

donc je dirai que c pour n = 21 ke l'on ai le plus proche ...

cherhcon une meilleure approximation ...
pour n = 21.1, on trouve 2.306549797
pour n= 21.2 on trouve 2.31570396

il est donc clair que dans approximativement 21.1 ans (21 ans et 1.2 mois; ou encore 21 ans 1 mois 5 jours et qq heures ) tous les Argentins vivront à Buenos-Aires  


si ca se trouve g ts faux ...

Posté par
manpowerre : Challenge n°90** 09-04-05 à 19:30

gagnéAh, l'exode rural...

Chaque année, la population de Buenos-Aires (capitale de l'Argentine) augmente de 3% ainsi, il faut multiplier cette population par 1,03 ( 100% + 3% donne 1+0.03). Donc au bout de \rm n années la population \rm x de Buenos-Aires vaut \rm x=13 000 000 \times~~(1,03)^n
De même, la population totale \rm y de l'Argentine, qui diminue de 1% par an, vaudra dans \rm n années, \rm y=30 000 000 \times~~(0,99)^n

On est donc ramené à résoudre l'équation \rm x=y
soit \rm 13 000 000 \times~~(1,03)^n=30 000 000 \times~~(0,99)^n.
Il vient \rm \frac{30}{13} = (\frac{1,03}{0,99})^n
soit, par passage au logarithme (les deux membres étant strictement positifs), \rm ln(\frac{30}{13}) = ln[(\frac{1,03}{0,99})^n] = n.ln(\frac{1,03}{0,99})
Ainsi, \rm n=\frac{ln(\frac{30}{13})}{ln[(\frac{1,03}{0,99})} \green \approx 21,11250243.

Ainsi, dans approximativement un peu plus de 21 années révolues mais en réalité au cours de la 3$ \rm \red 22eme année (à compter d'aujourd'hui) donc le 20 mai 2026 de toute façon (tout dépend de la façon de compter et je crois qu'il faudra accepter les deux réponses...), les deux populations étudiées seront théoriquement égales ( et vaudront approximativement 24,2643851 Millions ).
Bien évidemment tout cela reste très théorique, car je doute que tous les argentins habiteront Buenos-Aires. Dans la pratique, non régie par de simples lois mathématiques, la réponse est "probablement" jamais !

N.B: "Bonne chance à tous !"... je dirais plutôt "Bonne chance à toi" (puisea) pour la correction !

Posté par
lyonnaisre : Challenge n°90** 09-04-05 à 20:16

gagnéBonjour à tous :

\rm \begin{tabular}{c|c|c|}nombres d'annees ecoulees & habitants buenos aeres & habitants argentine \\\hline 21&23 479 446&24 291 836\\\hline 22&24 183 829&24 048 917\\\end{tabular}

j'en déduis donc qu'on pourra dire que tout les habitants d'argentine vivent à Buenos Aires, dans environ \rm \blue \fbox{22 ans}

en espérant éviter le quatrième poisson consécutif

Łчδййấỉš

Posté par
doc_78re : Challenge n°90** 09-04-05 à 20:43

gagnéBonjour
La population de Buenos Aires en l'année n sera Pb=13 x (1,03)n et la population totale sera Pt=30 x (0,99)n
Pour avoir Pt=Pb, on calcule en passant par les logarithmes et on obtient n=21,11 ans, soit on pourra dire tous les Argentins vivent à Buenos Aires dans 21 ans, 1 mois et 10 jours.... ou 22 ans si on veut parler en entiers !

Posté par EmGiPy (invité)re : Challenge n°90** 09-04-05 à 20:55

perduIl suffit de résoudre ce systeme a une inconue x qui représente le nombre d'années qu'il faudra attendre:

On sait que que Buenos-Aires comporte aujourd'hui 13 millions d'habitants et augmente de 3% par an.

C'est-à-dire: 13000000+(3\times{\frac{13000000}{100}})=13000000+390000x

De même on sait que la population totale de l'Argentine fait 30 millions d'habitants et diminue de 1% par an.

C'est-à-dire:
30000000-(1\times{\frac{13000000}{100}})=30000000-130000x

On écrit donc le système:

13000000+390000x=30000000-130000x

Et on trouve \red\fbox{x = 32.6923076923}

Ce qui veut dire que dans 32 ans 8 mois et quelques jours, tous les Argentins viveront à Buenos-Aires

++ EmGiPy ++

Posté par Yalcin (invité)re : Challenge n°90** 09-04-05 à 21:01

gagnéBonjour

On a : U_(n+1) = (1+3/100)U_n avec U_0 = 13

et V_(n+1)=(1-1/100)V_n avec V_0 =30

Donc V_n = U_n => (99/103)^n=(13/30)

Donc n = 21,11250243....

Donc dans 21 ans environ.

Cordialement Yalcin

Posté par
azarelre : Challenge n°90** 09-04-05 à 21:03

gagnéBonjour à tous,

Voici mon raisonnement, en espérant qu'il soit bon:
Population Argentine:
U0=3.0*10^7
U(n+1)=(99/100)Un
Soit Un=(3.0*10^7)*(99/100)^n

Population Buenos Aires:
V0=1.3*10^7
V(n+1)(103/100)Vn
Soit Vn=(1.3*10^7)*(103/100)

Ensuite on cherche Un=Vn
Soit (103/99)^n=30/13

Et ainsi par comparaison des deux suites je trouve 21ans!
Pitié pas le 4ème poisson de la semaine...bouuuuu
A+, h

Posté par EmGiPy (invité)re : Challenge n°90** 09-04-05 à 21:10

perduJe vien de me rendre compte que je suis allé trop vite je commence a en avoir marre pourquoi ne pas avoir utiliser les suites!

lol ceci dit ce n'est pas grave et j'espère que tout le monde a réussi!

et moi je dis vive le poisson, il est il faut que j'aille mangé

quel quiche (lorraine -> ma région lol)

++ EmGiPy ++

Posté par
Fractalre : Challenge n°90** 09-04-05 à 21:21

gagné21 ans

Posté par
franzre : Challenge n°90** 09-04-05 à 21:53

gagnéAprès n années la population de Buenos Aires est de 13\, 000\, 000 \times (1,03)^n et celle d'Argentine 30\, 000\, 000 \times (0,99)^n

On cherche n tel que 13\, 000\, 000 \times (1,03)^n=30\, 000\, 000 \times (0,99)^n\Longleftrightarrow\(\frac {1,03}{0,99}\)^n=\frac{30}{13}\Longleftrightarrow \fbox{n=\frac{\ln\(\frac{30}{13}\)}{\ln\(\frac{1,03}{0,99}\)}\approx\LARGE 21}

Posté par
paulore : Challenge n°90** 09-04-05 à 22:13

gagnébonjour,

        IL FAUDRA 21 ANS POUR QUE L'ON PUISSE DIRE QUE APPROXIMATIVEMENT TOUS LES ARGENTINS VIVENT A BUENOS-AIRES

VOILA BONSOIR

PAULO

Posté par
borneore : Challenge n°90** 09-04-05 à 22:17

gagnéAprès 21 ans, il y a 24 183 829 habitants à Buenos Aires, et 24 291 836 en tout en Argentine, ce qui fait encore 108 007 personnes dans le pays qui ne vivent pas à Buenos Aires, ce qui n'est pas négligeable.
Ma réponse est donc pendant la 22e année.

Posté par DivXworld (invité)re : Challenge n°90** 09-04-05 à 22:17

gagné21 ans

Posté par sarah29 (invité)re : Challenge n°90** 09-04-05 à 22:54

perdudans 25 ans

Posté par Bobo91 (invité)re : Challenge n°90** 09-04-05 à 23:48

perduRéponse un peu sèche mais bon ...

Dans un petit peu plus de 31 ans.

Posté par
Lopezre : Challenge n°90** 09-04-05 à 23:56

gagnéau bout de 21 ans approximativement

Posté par shintao (invité)Challenge n°90 10-04-05 à 00:40

gagnéTous les Argentins vivrons à Buenos Aires dans environ 21 ans(21,11ans).

Posté par pietro (invité)re : Challenge n°90** 10-04-05 à 08:43

Mon petit doigt calculateur, en fait celui qui appuye sur les touches de la calculatrice, me répond : 21 ans 1 mois et quelques jours.
Hésitation : dois-je répondre 21 ou 22 ans ?
La réponse est beaucoup plus proche de 21 que de 22, mais dans 21 ans quelques Argentins ne vivront pas encore à Buenos-Aires, donc je répondrai...

Challenge n°90

Posté par René10 (invité)Challenge n° 90 10-04-05 à 11:01

gagné Après n années, la population de Buenos Aires sera:
13*106(1+0.03)n
Celle de l'Argentine sera de:
30*106(1-0.01)n
Lorsque les populations de Buenos Aires et de l'Argentine seront égales, ceci équivaudra à:
13*106(1+0.03)n= 30*106(1-0.01)n
d'où n=(log30-log13)/(log103-log99)=21.35 années soit 21 ans 04 mois 6jours (si le 4ème mois est un mois de 30 jours) sinon il faudrait y rajouter environ 04 heures et quelques minutes (si c'est un mois de 31 jours.
En conclusion et en réponse à l'énigme,
on pourra dire qu'après 21 années, approximativement tous les argentins vivent à Buenos Aires.

Posté par kyrandia (invité)RE 10-04-05 à 11:17

gagnéla réponse est 22 ans

Posté par eldamat (invité)re : Challenge n°90** 10-04-05 à 11:56

gagnéapproximativement après 21 années

Posté par
jac290688re : Challenge n°90** 10-04-05 à 13:43

gagnéje pense qu on se contentera de resoudre l'équation:
10^6*13*1.03^x=10^6*30*0.99^x
ben la avec un trraceur de fonction ,je trouve x=21.11251
donc c'est 21...enfin je pense

Posté par tomasson (invité)re : Challenge n°90** 10-04-05 à 14:09

perdubonjour je pense que la réponse est au cours de la 23  eme année

Posté par bncjo (invité)re : Challenge n°90** 10-04-05 à 14:39

bonjour
soit x le nombre d'années necessaires
x=(ln(30/13))/(ln(1.03)-ln(0.99))21.11 ans

Posté par killis (invité)réponse challenge 90 10-04-05 à 16:50

perduLes deux populations seront égales à peu au bout de 20 ans.. ( aux alentours de 24500000 habitants )

Posté par
happyfillechallenge en cours 10-04-05 à 17:23

perdu30-13=17,, puis 13*3% + 30*1% = 0.69
17/0.69 = 24.63, environ 25 ans

Posté par BABA72 (invité)re : Challenge n°90** 10-04-05 à 17:31

gagnébonjour,
voilà ma proposition:

(1,03/0,99)^n=30/13 <=> n=21,02...
donc ma solution est 21 ans (après c'est difficile d'imaginer
la suite avec les mêmes données : augmentation de 3% et diminution
en mm tps de 1%)

BABA

Posté par aris20 (invité)challenge en cours 10-04-05 à 22:19

gagnéenviron 21 ans

Posté par Razibuszouzou (invité)re : Challenge n°90** 10-04-05 à 22:26

gagnéIl s'agit de 2 suites géométriques :
-l'une, ascendante, de raison 1,03
-l'autre, descendante,  de raison 0,99.

Si mes calculs sont bons, elles se rencontreront au bout de 22 ans

Posté par jacko78 (invité)re : Challenge n°90** 10-04-05 à 22:54

gagnéSelon moi on pourra dire que toute la population de l'Argentine vit a Buenos Aires dans 22 ans (ce qui est approximatif car si l'on prend pile 22 ans il y a plus de gens a Buenos Aires que dans toute l'argentine) mais comme il n'y a pas de précisions sur l'éxactitude  qu'il faut donner, et comme 21 ans n'est pas assez, je repond 22 ans.
A bientot

Posté par loloyoyo (invité)re : Challenge n°90** 10-04-05 à 23:00

gagnébonjour,

soit n le nombre d'annees tel que tous les argentins habitent a buenos aires
soit N le reel verifiant 13*(1.03)^N=30*(0.99)^N
Pour cette valeur de N exactement tous les argentins habiteront a buenos aires
on trouve N=ln(30/13)/ln(1.03/0.99)21.1

au bout de 21 ans, un mois et 11 jours, tous les argentins vivront a buenos aires.on peut donc dire qu'au bout de 21 ans, tous les argentins vivront approximativement a buenos aires:
au bout de 21 ans il y aura 24.2918 millions d'argentins dont 24.1838 millions vivront a buenos aires

Posté par pinotte (invité)re : Challenge n°90** 10-04-05 à 23:27

gagnéOh que c'était loin dans ma tête ces notions-là!!

Si mes souvenirs étaient exacts, la réponse serait: 21,11 ans.

:s

Posté par
Flo_64re : Challenge n°90** 11-04-05 à 11:54

perduc est à dire que la population de l'argentine habite tous à buenos aires

la population augmente de 3% c'est à dire 13*1.03 pour la 1ère année
et la population totale 30*0.90 pour la premiere année
etc chaque année

13*1.03^n pour la poulation de buenos aires
30*0.90^n pour la population total
n le nombre d'année

13*(1.03)^n=30*(0.90)^n
13/30=(0.90/1.03)^n
13/30=exp(nln(0.90/1.03))
ln(13/30)=nln(0.90/1.03)
n=ln(13/30)*1/(ln(0.90/1.03))
n=6,19 ans

Posté par CEL (invité)challenge 90 11-04-05 à 12:31

perduMISE EN EQUATION (en millions)
13* (1.03^n) >= 30*(099^n)
d'ou (1.03/0.99)^n >=30/13
n*ln(1.03/0.99)>= ln(30/13)
n>= ln(30/13)/(ln(1.03/0.99))
= environ 8.69
donc au bout de 9 ans environ

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°90** 11-04-05 à 12:36

gagné>puiséa
Qd tu dis : (on approche de la 100è édition !!), vous vous sous-estimez !
Bon nombre d'énigmes ont :
- soit un titre sans n°,
- soit un n° sans titre.
- (soit les deux)

=> vous êtes à plus de 100 !

D'où l'intérêt de mettre un n° et un titre à toutes les énigmes, pour les identifier exhaustivement...et savoir les retrouver par un thème.

Philoux

Posté par
bigufore : Challenge n°90** 11-04-05 à 14:06

gagné21ans (1mois 11jours)

Posté par paysan77 (invité)re : Challenge n°90** 11-04-05 à 16:55

gagnéje trouve au bout de 21 ans.

Posté par vol (invité)re : Challenge n°90** 11-04-05 à 20:49

environ dans 21 ans

Posté par Choun (invité)re : Challenge n°90** 11-04-05 à 21:55

gagnéBonjour,

Etant donné l'énoncé, je suppose que la baisse de 1% est sur tout le pays hors Buenos-Aires (et que Buenos-Aires a bien 3% d'augmentation), sinon l'énoncé est pas clair...

Enfin bref, au bout de aujourd'hui + 21 ans, la population de Buenos-Aires représentera 99.6% de la population totale, je pense que c'est suffisant pour dire que tous les Argentins vivent à Buenos-Aires.
(De toute façon, au bout de 22 ans, ça donne plus de 100% alors...)

Ma réponse est donc : Au bout de 21 ans.

Posté par paltan (invité)re : Challenge n°90** 11-04-05 à 22:45

gagné22 ans.

Posté par chrystelou (invité)re : Challenge n°90** 11-04-05 à 23:13

soit (bn) le nombre d'habitants de Buenos Aires en million d'habitants aujourd'hui
bn=13.(113/100)n
soit (An) le nombre d'habitants d'Argentine en million d'habitants aujourd'hui
An=30.(99/100)n

bn=An
n=(ln30-ln13)/(ln113-ln99)

dans un peu moins de 6 ans et quatre mois on pourra approximativement dire que tous les Argentins vivent à Buenos-Aires

Posté par culnomak2 (invité)re : Challenge n°90** 12-04-05 à 19:20

gagnéje dirai 21 ans

Posté par Bisouu (invité)re : Challenge n°90** 12-04-05 à 20:10

gagnéLa réponse exacte est 21,1 ans donc au bout de 21 ans la quasi-totalité des argentins vivent Bueno Aires mais au bout de 22 ans ils y vivent tous.

Posté par Myka (invité)re : Challenge n°90** 13-04-05 à 01:43

gagnédans 21,1125 ans, soit approximativement 21 ans

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Challenge n°90** 13-04-05 à 08:37

Merci à tous de votre participation...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 21:49:48.

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