Déterminer les trois dimensions entières d'un triangle rectangle dont le périmètre est égal à 2004 et dont la somme des chiffres de l'aire est égale à 24.
Bon courage.
Clôture de l'énigme : Vendredi soir.
Bonsoir,
On sait que le triangle ayant pour longueurs de cotés 3,4 et 5 est rectangle.
Soit k un entier avec la réciproque du théorème de Pythagore on montre que le triangle ayant pour longueur 3k, 4k et 5k sera rectangle.
Le périmètre d'un tel triangle est 3k+4k+5k=12k
2004=12*167
donc pour k=167 les deux premières conditions sont remplies.
Verifions la dernière exigence demandée :
L'aire de ce triangle est est alors
et la somme des chiffres de ce nombre est égale à 1+6+7+3+3+4=24
les trois dimensions entières d'un triangle rectangle dont le périmètre est égal à 2004 et dont la somme des chiffres de l'aire est égale à 24 sont 501, 668 et 835.
Salut
Les dimensions du triangle sont de 501, 668 et 835 unités.
Le théorème de Pythagore est respecté: 501² + 668² = 835².
Le périmètre est de 501 + 668 + 835 = 2004
L'aire du triangle est de = 167 334 u².
Si on additionne les chiffres de l'aire, on obtient:
1 + 6 + 7 + 3 + 3 + 4 = 24.
SOMME DES CHIFFRES DE L'aire:10(hypothénuse)+8(longueure)+4(largeur)
PERIMETRE: (2000+2008)/2
salut
j'ai trouvé :
501
668
835
ce qui donne pour le perimetre : 501+668+835=2004
l'aire : 501*668/2=167334
et 1+6+7+3+3+4=24
comme il n'est pas precisé de donner un raisonnement...
Bonjour Victor,
On peut montrer (avec un peu d'arithmétique à la clé) qu'un triangle de côtés a, b et c entiers est rectangle (d'hypothénuse c), alors il existe un triplet d'entiers (k,m,n) tels que
a = 2 k.m.n
b = k(m²-n²) (m>n)
c = k (m²+n²)
Le périmètre du triangle vaut
a+b+c = k(2 m n + m²-n² + m²+n²) = 2 k m (m+n) = 2004
Le triplet d'entiers (k,m,n) vérifie donc
k m (m+n) = 1002 = 2.3.167
or n < m < m+n < 2m
m étant inférieur à (m+n) ne peut pas prendre la valeur 167. Les seules valeurs possibles pour m sont 1, 2 ou 3.
Si m = 1, 1 < m+n < 2 impossible
Si m = 3, 3 < m+n < 6 impossible (1002 n'a pas de 4 ou 5 comme diviseur)
Si m = 2, m+n peut prendre la valeur 3 d'où n = 1 et k = 167.
En résumé le triplet (k,m,n) = (167,2,1) convient.
Il conduit à des valeurs de
a = 2 k.m.n = 4*167 = 668
b = k(m²-n²) = 3*167 = 501
c = k(m²+n²) =5*167 = 835
On vérifie que
le périmètre du triangle vaut 668+501+835 = 2004 et que
son aire vaut 668*501/2 = 167334 dont la somme des chiffres vaut 24
soit triangle rectangle abc avec c hypotenus
a b et c entier ssi a+b+c=3k+4k+5k=12k
par hypothese a+b+c=2004
donc k=2004/12=167
les trois cotés du triangle ont donc pour longueur
3x167=501
4x167=668
5x167=835
verification: aire=ab/2
aire=501x668/2
aire=167334
or 1+6+7+3+3+4=24
CQFD
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