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Chercher l'erreur [Niveau : prépa spé]

Posté par
Ju007 22-10-10 à 12:41

Bonjour,

je vais vous présenter un raisonnement contradictoire, l'erreur est je crois subtile ! Le but du jeu où est l'erreur de raisonnement !

On veut trouver $\lim \int_0^{e^n} (1-\frac x n)^n dx$ .

Une première idée (et un réflexe à avoir) est de chercher à appliquer le théorème de convergence dominée avec $f_n = (1-\frac x n)^n \chi_{\[0,exp(n)\]}$ .

En effet,
- $f_n(x)$ converge simplement vers exp(-x)
- $f_n(x) \leq (1-\frac x n)^n = \exp(n \ln(1-\frac x n)) \leq exp(-x)$ avec exp(-x) intégrable. (L'inégalité provenant de ln(1+u) <= u )

On peut donc appliquer l'hypothèse de convergence dominée de Lebesgue pouf pouf ça converge vers l'intégrale de 0 à l'infini de exp(-x), c'est-à-dire 1.

OK. Mais on peut voir une primitive évidente, c'est-à-dire modulo erreur de calcul, $-\frac{n}{n+1}(1-\frac x n)^{n+1}$

Donc $\lim \int_0^{e^n} (1-\frac x n)^n dx = -\frac{n}{n+1}(1-\frac {e^n) n)^{n+1} + \frac{n}{n+1}$

Bon le terme de droite tend vers 1, mais le terme de gauche diverge grossièrement ! Ce qui est contraire à ce qu'on avait trouvé par le théorème de convergence dominée.

Où est l'erreur ?

En le recopiant, je trouve en fait que l'erreur est assez grossière, enfin essayez de voir si vous trouvez !

Bonne chance !

Posté par re : Chercher l'erreur [Niveau : prépa spé] 22-10-10 à 12:44

Oups erreur de typo :
Il faut lire
$- \frac{n}{n+1} (1 - \frac{exp n}{n} )^{n+1} + \frac{n}{n+1}$

Posté par re : Chercher l'erreur [Niveau : prépa spé] 22-10-10 à 14:04

Bonjour,

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Posté par re : Chercher l'erreur [Niveau : prépa spé] 22-10-10 à 15:22

godefroy : le terme (n/n+1), pas le membre !

Posté par re : Chercher l'erreur [Niveau : prépa spé] 22-10-10 à 16:36

Bonjour,

Dans l'étude de la convergence dominée, $(1-\frac x n)^n = exp (n Ln(1-\frac x n))$ me semble un peu risqué quand x est plus grand que n !

Bruno