Bonjour,

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La réponse à la première question est oui ; sinon, il n'y aurait pas de seconde question.
Ou alors c'est un piège ?

Peut-être mais est-ce que tu as aussi des arguments mathématiques pour convaincre ceux qui ne te croient pas ?

Pour la seconde question :

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Si on atteint 2023, les termes suivants sont périodiques : 2022, 2021, 2022,...

En fait, j'ai fait une mauvaise lecture de l'énoncé :
J'ai lu au lieu de ; c'est à dire
si le plus grand diviseur impair de est de la forme
si le plus grand diviseur impair de est de la forme
Je m'en suis aperçue quand j'ai voulu trouver le plus grand diviseur impair de 0 ...

Ah d'accord mais je voulais bel et bien dire ce qui change un peu la donne, bon courage si certains cherchent, elle est sympa cette suite je trouve  

En regardant le comportement de la suite avec Python on voit bien pourquoi il y aura une infinité d'occurrences

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On a un joli schéma qui se "répète" toutes les puissances de 2 : la suite atteint un pic puis redescend pour valoir 1. Ce pic est de l'ordre de log2(n)

à noter que "plus grand diviseur impair" n'est qu'un joli terme pour dire : diviser par deux jusqu'à ce que ça ne soit plus possible. J'étais parti pour calculer la liste des diviseurs dans mon programme

Démontrons alors
Tu as l'air bien parti

Bonjour,

par force brute (diviseurs de n) en cherchant jusqu'à U_1000000

umin = u[1] = 0, umax = u[699050] = 19
u[1000000] = 7 en 18098.67 secondes (!!)

le maximum de 19 est bien loin d'arriver à 2023 ...
la remarque "diviser par deux jusqu'à ce que ça ne soit plus possible"
améliore largement les performances du programme !

umin = u[1] = 0, umax = u[699050] = 19
u[1000000] = 7 en 1.17 secondes !
il n'empêche que par force brute on n'est pas près d'arriver ...

Certes certes mais c'est petit devant l'infini, il ne faut pas se décourager si vite
Prenons les paris pour ceux qui veulent jouer sans faire de démonstration et voyons qui sera le plus proche : il faut continuer jusqu'à quel ordre de grandeur pour trouver enfin 2023 ? Plus difficile, quels seront les 1000000 derniers chiffres de l'indice qui permet d'arriver enfin à 2023 ?

La démo arrive

Pour le moment, j'affirme que la première occurrence du nombre survient aux alentours de l'indice (ramené à l'entier)

Histoire de faire avancer le schmilblick, je vous suggère de vous intéresser à

J'ai trouvé la plus petite valeur de qui donne , c'est

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Exact donc soit tu as une chance incroyable (de l'ordre de ) ou soit tu as une démonstration. Je parie pour la deuxième hypothèse.

C'est bien la deuxième hypothèse (sans surprise !)

Merci pour ce problème comme je les aime : il semble difficile au premier abord mais il est tout simple quand on l'a résolu et cerise sur le gâteau il est même très simple à démontrer !

En fait il y a une deuxième façon de définir la suite et avec cette deuxième façon un élève de CM pourrait répondre aux deux premières questions de Vassillia.

L'équivalence entre ces deux définitions de la suite se démontre en deux lignes.

Me basant sur les indices de Vassillia

Vassillia @ 08-01-2023 à 19:53

Histoire de faire avancer le schmilblick, je vous suggère de vous intéresser à

Zormuche @ 06-01-2023 à 17:33

à noter que "plus grand diviseur impair" n'est qu'un joli terme pour dire : diviser par deux jusqu'à ce que ça ne soit plus possible. J'étais parti pour calculer la liste des diviseurs dans mon programme

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Par définition, on a

a le même "plus grand diviseur impair" que et donc


En ne regardant que les , on s'aperçoit que .

C'est vrai pour .
Supposons que cela soit vrai pour , on a


Donc par récurrence, on a montré que . On a montré aussi que


En particulier, la série passent par tous les nombres naturels si on commence en

Le nombre apparaît pour la première fois au ème terme de cette série.
Les indices des de cette séries sont 1,2,5,10,21,... et s'écrivent en binaire 1,10,101,1010,10101,...

Soit n = 10101010.... (m+1 chiffres alternant 1 et 0).
On a
Avec

On a donc si . Et c'est le plus petit n.

CQFD

Note: puisque 1 est de la forme 4n+1.
En groupant les termes deux par deux, on peut construire la série u itérativement. ....xy.... -> ....xaby.... avec a = x+1 et b = y+1.
Avec -1 remplacé par - cela donne:

 -0
-010

 -0  10
-0101210

 -0  10  12  10
-010121012321210

 -0  10  12  10  12  32  12  10
-0101210123212101232343212321210

 -0  10  12  10  12  32  12  10  12  32  34  32  12  32  12  10
-010121012321210123234321232121012323432345434321232343212321210

Bonjour,
Merci LittleFox d'avoir relancé car j'avais renoncé après avoir pas mal pataugé
J'avais trouvé .
Puis conjecturé que le maximum de entre et est .

Je ne blanke pas car je suis loin de la simplicité annoncée par jandri dans son dernier message...
Fallait-il y comprendre "CM" comme cours moyen de primaire ?
Lui ou Vassillia vont peut-être donner un indice supplémentaire ?

Bonjour Sylvieg,

je voulais bien dire "cours moyen de primaire", il faut simplement savoir écrire les entiers en base 2.

est simplement le nombre de transition (01 ou 10) dans l'écriture binaire de

Malgré tout le temps où ils ont été devant moi, je ne l'ai pas vu

Et oui, c'est pour cette définition de la suite que les réponses aux questions posées au départ par Vassillia peuvent être trouvées par des élèves de cours moyen.

Bonjour,
Pour voir si j'ai bien compris et une question :

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L'entier 4k écrit en base 2 se termine par 00.
L'entier 4k+1 écrit en base 2 se termine par 01.
Le passage de la première écriture à la seconde rajoute une "transition" alors qu'on ajoute 1 pour passer de u_4k à u_4k+1.

L'entier 4k+2 écrit en base 2 se termine par 10.
L'entier 4k+3 écrit en base 2 se termine par 11.
Le passage de la première écriture à la seconde enlève une "transition" alors qu'on retranche 1 pour passer de u_4k+2 à u_4k+3.

Pour traiter le passage de u_4k+1 à u_4k+2, j'ai séparé en deux cas selon la parité de k.
Ma question :
Comment un élève de cours moyen peut-il y arriver ?
Ou quelque chose de plus élémentaire m'échappe ?

Bonjour Sylvieg,

tu as très bien démontré l'équivalence entre la définition de la suite utilisant le nombre de transitions (01 ou 10) et les relations de récurrence trouvées par LittleFox.

Ce que j'ai écrit le 09-01-23 à 11:01 c'est qu'un élève de CM pourrait répondre aux deux questions posées au départ part Vassillia,
"Est-ce que cette suite contient au moins une fois 2023 ? Et si oui, combien de fois on peut le trouver ?",
à condition qu'on lui donne comme définition de la suite celle donnée par LittleFox le 14-01-23 à 19:37,
est le nombre de transitions (01 ou 10) dans l'écriture binaire de .

L'équivalence entre la définition de Vassillia et celle avec le nombre de transitions (01 ou 10) peut se faire en deux lignes et doit pouvoir être comprise par un bon élève de CM :

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En notant le nombre de transitions (01 ou 10) dans l'écriture binaire de , il y a deux cas :

si alors en base 2 donc d'où .

si alors en base 2 donc d'où .

Cela prouve par récurrence que

C'est vrai que Vassillia ne demandait pas de trouver la plus petite valeur de n.
Le reste se fait très facilement
Ta démonstration "en deux lignes" est plus simple que la mienne.
Et d'ailleurs la mienne me semble incomplète : Il manque le passage de 4k+3 à 4k+4.