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choix entre deux capitalisations
Bonsoir tout le monde, est ce que quelqu'un peut m'aider à résoudre cet exercice je ne parviens à le faire. Merci d'avance.
Je sais que pour l'option 1 il faut calculer le taux mensuel à partir du taux annuel. Mais je ne sais point comment faire pour calculer l'annuité pour les deux options.
Marc-André veut placer 3 000 $ dans un compte qu'il laissera fructifier pendant 4 ans. Il hésite entre deux options.
Option 1 : Investir dans un compte à un taux d'intérêt annuel de 8 % capitalisé mensuellement.
Option 2 : Investir dans un compte à un taux d'intérêt annuel de 9 % capitalisé de façon
continue. Pour un capital initial de valeur C0, la valeur d'un capital C(x) au bout de x
années, en capitalisation continue, à un taux d'intérêt annuel i est donnée par la formule suivante:
C(x) = C0
a) Quelle option lui conseilleriez-vous ? Justifiez votre réponse à l'aide de calculs pertinents.
Bonsoir,
quel est le problème? il suffit d'appliquer les formules de l'option 1 et 2 et de comparer les résultats
Bonjour Bornin1996,
L'option de capitalisation 1 est bien mal définie dans votre énoncé.
En effet, si le « taux d'intérêt annuel de 8 % » annoncé était un taux actuariel (ou équivalent) annuel, la loi d'actualisation qui en découlerait serait la même quelle que soit la fréquence de la capitalisation, et la précision : « capitalisé mensuellement » n'aurait alors aucun sens.
Il s'agit donc, plus vraisemblablement, d'un taux annuel de 8 % relié par une relation de proportionnalité au taux actuariel de période mensuelle j, ce qui implique un taux j tel que :
12.j = 8 % soit j = 8 % / 12.
La loi d'actualisation de l'option 1 qui découle de cette hypothèse la plus vraisemblable est alors :
Kt = Ko.(1+j)^ [(t-to)/m]
m étant la durée de la période mensuelle à laquelle est associé le taux actuariel de période mensuelle j,
et Kt étant la valeur actualisée ou acquise, à la date t, par le capital, l'encours ou le flux qui avait pour valeur actuelle Ko à la date to.
Selon cette option de capitalisation n°1 de votre énoncé, le coefficient de capitalisation associé à un intervalle de 4 ans a pour valeur :
[1+(0,08/12)]^48 = 1,375666 (avec arrondi à la 6ème décimale la plus proche)
et les 3000$ placés ont alors acquis à terme la valeur de : 4127,00$ (avec arrondi au cent le plus proche)
Selon l'option de capitalisation n°2 de votre énoncé, le coefficient de capitalisation aurait pour valeur :
exp(0,09.4) = 1,433429 (avec arrondi à la 6ème décimale la plus proche)
et les 3000$ placés auraient alors acquis à terme la valeur de : 4300,00$ (avec arrondi au cent supérieur)
La décision est vite prise.
NOTA BENE : On aurait pu parvenir à la même conclusion sur la base de la comparaison des taux actuariels annuels (TAA) correspondant respectivement à chacune des 2 options de capitalisation :
Pour la première, le TAA a pour valeur :
TAA = [1+(0,08/12)]^12 - 1 = 8,30 % (avec arrondi à la 2ème décimale la plus proche)
Pour la seconde, le TAA équivalent a pour valeur :
TAA' = exp(0,09) -1 = 9,42 % (avec arrondi à la 2ème décimale la plus proche)
CQFD…
(Sauf distraction ou erreur de calcul)
Bien cordialement
Vertigo
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