Bonjour,

Ces fonctions ont des définitions qui présentent de grandes similitudes avec celles des fonctions trigonométriques.
Elles ont de ce fait des propriétés voisines qui les rendent intéressantes de ce fait.

Elles ont également des propriétés différentielles particulièrement intéressantes, tout comme les fonctions trigonométriques. A ce titre, elle fournissent des outils très intéressants pour la résolution d'équations différentielles et pour le calcul intégral, en offrant notamment des possibilités de changement de variable qui dans certains cas sont très efficaces.

En toute rigueur, ont pourrait se passer d'elles, puisqu'après tout, elles se définissent par rapport à la fonction exponentielle.
Mais en pratique, elles complètent la panoplie du mathématicien en lui offrant des outils encore plus précis pour certains types de problèmes (notamment ceux que j'ai évoqués).

Par exemple, la courbe que prend naturellement une chaine suspendue à deux points fixes, s'appelle  une "chaînette" et épouse la forme d'un cosinus hyperbolique... Parce que quand on écrit l'équation différentielle de l'équilibre d'un tronçon de cette chaînette, on tombe précisément sur une équation dont le cosinus hyperbolique est solution...

Voilà pour une première justification...

bonjour

ce sera long de te donner des explications détaillées sur les fonctions hypérboliques et sur leur utilité.

je te donne qq relations et qq utilités en physiques.

ch(x)=(e^x+e^-x)/2 et sh(x)=(e^x-e^-x)/2 et th(x)=sh(x)/ch(x) et coth(x)=1/th(x).  voila pour les définitions

pourquoi on parle de cosnus hypérbolique et de sinus hyperbolique? parce que:
ch(ix)=cos(x) et sh(ix)=isin(x) où i²=-1  ; voir formules de Moivre

qq relations:
ch'=sh
sh'=ch
ch²(x)-sh²(x)=1   ; c'est l'équivalent de cos²(x)+sin²(x)=1
1-th²(x)=1/ch²(x)   ; c'est l'équivalent de 1+tan²(x)=1/cos²(x)
ch(a+b)=ch(-(a+b))  ; ch est paire
       =ch(i(ia+ib))
       =cos(i(a+b))                   ; cosz fonction analytique
       =cos(ia)cos(ib)-sin(ia)sin(ib)
       =ch(-a)ch(-b)-i²sh(-a)ish(-b)
       =ch(a)ch(b)+sh(a)sh(b)
etc. tu peut retrouver comme cela toutes les formules en analogie avec la trigonométrie

Utilité:
le structure en forme de parabole qui soutient la plus part des ponds suspendus est une chainette en ch car c'est la forme la plus stable.

la résolution des équation différentielles en y"-w²y=0 a des solutions sous la forme y=ach(wt)+bsh(wt)
en effet:
y'=awsh(wt)+bwchwt
y"=w²(achwt+bshwt)=w²y

etc.
voila un juste aperçu des fonctions hyperboliques

Bonjour

Autre chose : leur construction géométrique est analogue à celles des fonctions trigonométriques correspondantes, en remplaçant le cercle trigonométrique par une hyperbole (d'où leur nom). Voir par exemple l'illustration en tête de l'article sur Wikipedia (en)

Après nous avoir lus... en tout cas au moins moi, je suis convaincu !

... convaincu que les hyperboliques, c'est chouette, je précise ...

merci pour vos réponses

Du coup, si on veut utiliser ça sur une calculette, il faut rentrer la formule avec les exponentielles ?

Si ta calculatrice ne sait pas les faire directement, oui.

Je me permet une petite question sur ce même post, désolé si il fallait faire un post séparé..
Quel est la formule pour le calcul des demi-tangentes ?
Merci d'avance

C'aurait été mieux de faire un post spécifique : avec le sujet en titre, comme ça ceux qui savent peuvent répondre, et ceux que ça intéressent peuvent consulter le sujet...

Sinon, en posant t = tan(x/2), on a :

cos(x) = (1-t²)/(1+t²)
sin(x) =  2t /(1+t²)
tan(x) = 2t /(1-t²)

A moins qu'il ne sagisse des "demies tangentes" d'une fonction en un point ?

Auquel cas il faut caluler la limite à droite (ou à gauche) de la formule de la dérivée : limite₀₊ [f(x+h) - f(x)]/h

Bonjour,

Wiki apporte une réponse tout à fait satisfaisante :

La demi-tangente à droite existe si ce nombre est défini et à gauche par .

Julie