Salut
"Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n'ont point de dérivée."
Charles Hermite
Des exemples ?
Bonsoir simon92,
Je crois que fusionfroide parle des fonctions continues mais dérivables en aucun point
Critou
Merci au grand kevin, surnomme infophile
Porteur de deux smileys, qui toujours se profile
Pour aider ceux qui peinent a leurs topics postes
Ou pour passer du temps dans les salons de the
Bonjour à tous
Comme horreur on a la fonction de Blancmange.
On définit et
.
On définie alors la fonction de Blancmange sur R par :
Cette fonction est continue sur R, dérivable en aucun point et monotone sur aucun intervalle. Qui se propose pour la tracer ?
Bonjour,
Tu n'arrives pas à te la représenter kévin?
M'enfin!
C'est facile, tu commence par te la représenter sur [-1,1] et le reste vient tout seul...
puis, après, tu "découpes" le triangle par dichotomie
sine qua non s'y prêtes très bien
A vérifier, comme dirait elhor
N'empêche, j'avais dit de se la représenter sur [-1,1] complètement au hasard, et finalement c'est bon
Q1 : comment montrer que f(x) est périodique de période T = 1 ?
Q2 : comment montrer que f est paire ?
Q3 : en déduire que les axes x = k/2 avec k entier sont axes de symétrie
salut Nightmare : des questions, pour certaines, dont je n'ai pas la moindre idée ( le max pour x € [0;1/2] )...
ok pour la périodicité Nightmare...et pour le max ?
un zoom peut-être, afin de "voir" la construction ?
et un zoom à partir du point A( 0,33 ; 0,66 ) pour "voir" la première bosse de la double-bosse :
On voit ainsi mieux comment se construit le max...
Bonsoir
Topic trés interessant!
il en existe d'autres des fonctions de ce type? et tout aussi biscornues?
hop in the favoris
Kuider.
Oui, il y en a tout plein de fonction continue partout dérivable nulle part:
Soit un réel et
un entier muliple de 4 tel que
. La fonction
répond au problème (ça c'est Weiertrass).
Dans un autre genre:
Pour tout a réel, on note <a> sa distance à N. La série d'applications de [0,1] dans R telles que
converge uniformément sur [0,1]. Sa somme est continue sur [0,1] mais dérivable nulle part. (Ca c'est Van der Waerden).
Une propriété assez fabuleuse de ces fonctions c'est qu'elles ne sont monotones sur aucun intervalle de R(euh j'entends bien sur intervalle nn trivial de R). (Et oui, sinon elle serait dérivable en au moins un point, mais bon ça c'est une autre histoire...)
Ayoub.
Merci Ayoub
ceci a attiré ma curiosité :
Pour faire les choses simplement.
Tu prends une fonction numérique f définie sur un intervalle (non trivial) de R surlequel elle est monotone. On peut démontrer qu'elle est continue presque partout (ie, l'ensemble des points de discontinuité est négligeable (ie de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue)). Bon ça, c'est assez facile à montrer.
Après ça se complique sérieusement, puisqu'on peut aussi montrer qu'elle est dérivable presque partout.
Il y a un bout de temps, j'avais posté ça: Fonction monotone sur un intervalle: dérivable en un point?. Tu peux y jeter un oeil si t'as envie de voir des trucs incompréhensibles d'analyse (mais non moins intéressant).
Ayoub.
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :