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Claculer et simplifier tg[-2 arcos (-x)]

Posté par proton (invité) 24-09-05 à 14:33

Bonjour, j'ai quelque difficulté pour résoudre un de mes exercices, alors je viens demander votre aide.
Il faut que je calcule et simplifie tg[-2 arcos(-x)]
Posons arcos(-x)=y => x= -cos y y [0,]

on doit calculer tg(-2y) en fonction de X (= -cos y)
tg(-2y)= ...

J'espère que vous pourrez m'aider
Merci d'avance

Posté par re : Claculer et simplifier tg[-2 arcos (-x)] 25-09-05 à 06:32

$\fbox{A=\tan(-2\arccos(-x))}$

Première chose à regarder : cette expression a-t-elle un sens ?
$\arccos$ est une fonction de $[-1;1]$ dans $[0;\pi]$
Donc on doit avoir $x\in[-1;1]$
Ensuite $-2\arccos(-x)$ prend des valeurs dans $[-2\pi;0]$ .
$\tan$ est définie sur $\mathbb{R}$ privé de $\pi/2$ modulo $\pi$ .
Donc on doit éviter :
$-2\arccos(-x)=-\pi/2\quad\textrm{ou}\quad -3\pi/2$
$\arccos(-x)=\pi/4\quad\textrm{ou}\quad 3\pi/4$
$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Donc :
$\fbox{\tan(-2\arccos(-x))\quad\textrm{est defini pour}\quad x\in[-1;1]\setminus\{\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\}}$

Prenons $x\in[-1;1]\setminus\{\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\}$

On veut appliquer la formule :
$\tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$
L'application de cette formule suppose, dans notre cas :
a) $-2\arccos(-x)\neq\pi/2\quad(\pi)$ ce qui est déjà le cas
b) $-\arccos(-x)\neq\pi/2\quad(\pi)$ donc x non nul
c) $\tan\arccos(-x)\neq\pm 1$ donc $\arccos(-x)\neq\pi/2\quad\textrm{ou}\quad 3\pi/2$ donc x non nul

Donc on prend en plus $\fbox{x\neq 0}$ (on examinera plus tard le cas $x=0$ )

$A=\tan(2\arccos(-x))=-\frac{2\tan\arccos(-x)}{1-\tan^2\arccos(-x)}$
Or $\tan\arccos(-x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{-x}$
Donc $A=\frac{\frac{2\sqrt{1-x^2}}{-x}}{1-\frac{1-x^2}{x^2}}=-2x\frac{\sqrt{1-x^2}}{2x^2-1}$
Cette relation reste vraie pour $x=0$

En conclusion :
$\fbox{\textrm{quand l'expression est definie,}\quad\tan(-2\arccos(-x))=-2x\frac{\sqrt{1-x^2}}{2x^2-1}}$

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par proton (invité)re : Claculer et simplifier tg[-2 arcos (-x)] 25-09-05 à 13:44

Merci pour ta réponse.
J'avais obtenu la même réponse sauf que j'avais devant + ou - et je ne savais pas comment choisir le bon signe mais grace à toi j'ai le bon maintenent.
Un grand merci

Posté par re : Claculer et simplifier tg[-2 arcos (-x)] 25-09-05 à 14:26

Je t'en prie.

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