Bonsoir
je vous propose l'exercice sympathique qui suit :
on se donne 10 cases alignées ( horizontalement) et numerotées de 1 à 10 , à l'instant t=0 , un robot noté "A" se trouve dans la case 1 , tandis qu'un robot noté "B " se trouve à la case 10.
A chaque seconde, soit le robot A reste dans la case qu'il occupe avec une probabilité de 3/7 , soit il avance d'une case avec une probabilité de 4/7.
A chaque seconde , soit le robot B reste dans la case qu'il occupe avec une probabilité de 3/8 , soit il avance d'une case avec une probabilité de 5/8.
d'apres vous , en moyenne ,au bout de combien de temps les robots A et B se trouveront ils dans la même case ou dans deux cases adjacentes ? (en effet si A se trouve en 2 et B en 5 , si ils se deplacent tout les deux alors ils occuperont des cases voisines , par contre si A est en 2 et B en 4 et qu'ils se déplacent tout les deux alors ils se trouveront dans la case 3 ensemble)
salut
vu qu'il y a indépendance la probabilité que :
A et B avancent d'une case est 10/28 = 20/56
un seul des deux avance d'une case est 27/56
aucun n'avance est 9/56
on en revient alors au pb suivant : un mobile A se déplace de la case 1 à la case 10 avec les probabilités 9/65 (resp. 27/56 et 20/56) de se déplacer de 0 (resp. 1 et 2) case(s)
en moyenne combien de déplacements met-il pour atteindre au moins la case 9 ?
puisque tu demandes quand les mobiles seront sur la même case ou dans des cases adjacentes
en appliquant la classique règle qu'on ajoute les vitesses quand deux mobiles se percutent ...
enfin y a-t-il réellement équivalence entre ces deux problèmes ?
Bonsoir,
la distance de départ entre les deux robots est de 9 cases.
En moyenne elle diminue de chaque seconde.
J'ai tendance à penser que pour qu'elle devienne inférieure ou égale à 1 il faudra en moyenne secondes.
Ce qui est évident car le résultat de mon raisonnement est .
Mais ça ne colle toujours pas à la simulation.
Je vais dormir.
Soit t(n) le temps moyen avant la collision si les (centre des) robots sont distant de n.
On a t(0) = t(1) = 0. On cherche t(9).
On a t(n+2) = 1 + t(n+2) (3/7*3/8) + t(n+1) (4/7*3/8+3/7*5/8) + t(n)(4/7*5/8). On passe t(n+2) à gauche et on calcule.
Bonjour
Oui LittleFox , l'idée est exactement la même que celle développée par Jandri dans Déplacements .
Imod
@Imod
Oui, je sais. J'ai pas mal cogité sur cette énigme aussi.
@verdurin
L'idée est bien là. On a bien qu'à la limite, le temps pour se rapprocher d'une case est de 56/67s. Reste à trouver le temps zéro.
Tous calculs fait on a . L'erreur diminue très vite (facteur 20/47) et on est à moins de 1% d'erreur pour n > 4.
@dpi
Il y a un problème dans ta simulation
La vitesse moyenne est de case/s
@carpediem
Le problème n'est pas tout à fait équivalent car on ne sait pas à priori les probabilités que les robots s'arrêtent sur la même case où sur des cases adjacentes.
Mais je suis d'accord que c'est équivalent à un seul mobile A qui se déplace. Mais depuis la case 9 vers 0 ou 1 et pas l'inverse.
merci LittleFox mais je pense que
@carpediem
Oui, OK. Je disais que partir de 1 ou 2 pour atteindre 10 n'est pas équivalent à partir de 10 pour atteindre 1 ou 2.
Le calcul de verdurin est correct, la moyenne de la somme est bien la somme des moyennes. Si tu veux expliciter le déplacement de deux cases alors on a:
ok d'accord !
ok d'accord bis !
n'ayant pas explicité son calcul comme ton premier membre (tout comme moi) j'ai pensé que verdurin eut pu faire une "bête" erreur de calcul de moyenne ...
Bonjour
en faisant tourner un bout de code on arrive precisement à quelques chose comme 6,9 secondes .
j'ai pas été plus précis que vous autres dans le calcul , j'ai eu une approche "simplifiée "
je note T le temps necessaire que A se retrouve adjacent à B
je note aa la V.A nombre d'avances de A , sa la V.A nombre d'arrets ou stops de A.
je note ab la V.A nombre d'avances de B , sb la V.Anombre d'arrets ou stops de B.
dans le cas " rencontre avec cases adjacentes " on a
aa + ab=8
on a aussi : aa + sa=T ( temps ecoulé jusqu'a la recontre et aussi ab + sb=T.
en passant par l'espérance il vient E(aa)+E(ab)=8 soit (4/7)T+ (5/8)T= 8
ce qui donne T (de collision en cases adjacentes)=6,6866
Dans le cas ou les robots se retrouvent dans la meme case on a :
aa + ab=9
on a aussi : aa + sa=T ( temps ecoulé jusqu'a la recontre et aussi ab + sb=T.
en passant par l'espérance il vient E(aa)+E(ab)=9 soit (4/7)T+ (5/8)T= 9
ce qui donne T (de collision en case identiques)=7,5224
je fais la moyenne des deux resultats obtenus et ca donne 7,10 s
c'est pas si precis que ca ....
Il me semble qu'i faut donner un nombre entier de secondes, puisque les déplacements se font seconde par seconde, et en même temps.
Bon dimanche,
La remarque de Leile permet bien d'arrondir à 7 s.
En effet au même dénominateur 56 on a bien 32avancées pour A
et 35 pour B (j'avais une grosse erreur dans ma simulation d'hier...)
7.522 arrondi par le bas donne 7 s
Pourquoi arrondir à l'unité ? Quand on fait une moyenne de notes entières , le résultat doit-il être entier ? Le temps moyen est de .
Imod
@Leile
Non, il n'y a aucune raison que la moyenne de nombres entiers soit entière.
Si on calculait le mode (la valeur la plus fréquente) alors oui ce serait entier. Mais c'est un tout autre calcul.
@Imod
D'où vient ton 448/65? J'ai une réponse différente.
@flight
Non, on ne peut pas faire la moyenne des deux cas. Ils arrivent à des fréquences différentes. Voir mes réponses à carpediem.
Je suis d'accord que la valeur se trouve entre les deux mais on ne sait dire à priori où entre les deux.
De plus, la condition aa + ab = 8 change la probabilité d'avancer et E(aa). La probabilité d'avancer pour a n'est plus indépendante de la probabilité pour b.
Faute de frappe
Pour en revenir aux moyennes , imaginons que l'on analyse le taux de natalité en Europe en arrondissant à l'unité ... Et pourtant personne ne fabrique des morceaux d'enfants
Imod
Voici un graphique de la distribution de t pour n=9. On voit que le mode est 6 (plus haute barre) pourtant la moyenne est plus proche de 7.
Notez que le minimum est t=4, alors qu'il n'y a pas de maximum (mais la probabilité diminue exponentiellement quand t devient grand).
Je ne me suis jamais vraiment intéressé au probas et je fais certainement une erreur de logique . Voilà comment j'avais vu les choses :
Au départ l'écart entre les deux robots est de 8 cases et à chaque seconde cet écart se réduit en moyenne de On cherche à partir de quel temps T cet écart sera au plus nul :
On arrive au résultat annoncé
Imod
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