Combien de racines ?

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Combien de racines ?
Posté par 
matovitch  12-07-09 à 12:35
Bonjour à tous !

Voici un petit défi pour un niveau terminale (ou plus), je n'ai pas la réponse de la subsidiaire.

.
Montrer que pour  la fonction  admet au moins  racines.

Question subsidiaire : Montrer qu'elle en admet exactement .

Blanquez vos réponses.

Bonne réflexion à tous ! 
 Posté par 
blangre : Combien de racines ?  13-07-09 à 13:20
Bonjour matovitch 

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 est dérivable trois fois sur  et :

D'une part .

D'autre part,   donc  est strictement positive au voisinage de  à gauche.

Enfin, .

Cela implique que    s'annule au moins trois fois dans .

Remarquons que  sur . Comme  et , on en déduit que l'équation   possède une unique solution  et que  est strictement croissante sur  et strictement décroissante sur  . Par conséquent,  s'annule au plus deux fois dans  , ce qui prouve, en vertu du théorème de Rolle, que   s'annule au plus trois fois dans  .

Comme  sur , on a terminé 

 Posté par 
matovitchre : Combien de racines ?  13-07-09 à 13:55
Bonjour blang 

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Il y a une erreur au début de ton raisonnement lorsque tu dis:

Citation :
Enfin, .

 car , donc  peut être positive.

Ceci dit, la fin de ton raisonnement est excellent, mais tu peux seulement en conclure qu'il y a 2 ou 3 solutions.
 Posté par 
blangre : Combien de racines ?  13-07-09 à 14:13
Matovitch :

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Ah bon ? Et en quoi est-ce une erreur ?
 Posté par 
matovitchre : Combien de racines ?  13-07-09 à 14:22
blang>>

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L'affirmation  est fausse, car n peut-être égal à 1,1 par exemple.

On peut juste dire que 

Sauf erreur. 

 Posté par 
blangre : Combien de racines ?  13-07-09 à 14:24
Ah, d'accord, je viens de comprendre... n'est pas forcément ENTIER. 
 Posté par 
blangre : Combien de racines ?  13-07-09 à 14:33
Dans ce cas, il suffit juste de dire cela :

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 donc  est strictement négative au voisinage de 0 à droite.

 Posté par 
matovitchre : Combien de racines ?  13-07-09 à 14:42
blang >>

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Je pense savoir comment tu le montres, mais j'aimerais que tu le justifies. 
 Posté par 
blangre : Combien de racines ?  13-07-09 à 14:52
matovitch : c'est immédiat, non  

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Il existe un intervalle du type ]0;] avec >0 sur lequel  donc f est strictement négative sur  ]0;].

A moins que tu veuilles que je justifie la limite ??

 Posté par 
blangre : Combien de racines ?  13-07-09 à 14:53
Dans ma remarque précedente, remplacer  par  
 Posté par 
matovitchre : Combien de racines ?  13-07-09 à 14:57
blang >>

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Oui, je parlais bien de la limite. 
 Posté par 
blangre : Combien de racines ?  13-07-09 à 15:04
Allons, matovitch, c'est pourtant simple  :

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Si x>0, 

Allez, je te laisse finir 

  Posté par 
matovitchre : Combien de racines ?  13-07-09 à 16:14
blang >>

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, classique, c'est un taux d'accroissement.

Et 

d'où 

Ça alors, tu as réussi à me faire faire mon propre défi !