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Combinatoire
Bonjour ,
je vous propose l'exercice suivant :
voici une séquence de 13 lettres :" U A X A G T E D O P I Z K" .
Combien de dispositions de cette séquence de lettres existe t il de sorte que les deux lettres "A" soient toujours encadrées par une consonne et une voyelle ?
moi j'ai compris que l'exemple fourni est une configuration permise (les A peuvent être séparés)
U A X A G T E D O P I Z K
éventuellement des lettres quelconques (ici aucune)
voyelle (U), un A juste à côté,
éventuellement des lettres quelconques (ici un X),
un A,
consonne (G) juste à côté
éventuellement des lettres quelconques
C'est vrai qu'il n'est pas dit que les 2 lettres A doivent être côte à côte. J'ai interprété instinctivement l'énoncé comme ça, à tort sans doute.
Bonsoir,
je trouve qu'il y a quatre cas à considérer (je note c pour consonne, v pour voyelle et ... pour des lettres en nombre non précisé , éventuellement aucune) :
Cliquez pour afficherEn calculant pour chaque cas je trouve :
Cliquez pour afficherBonsoir à tous
il est effectivement possible d'avoir les deux lettres A cote à cote car on peut placer autour de ces deux lettres deux consonnes et la condition est satisfaite
aussi , les deux lettres A ne peuvent pas se trouver aux extremités car la condition impose que chaque lettre A soit encadrée par une voyelle est une consonne, les deux lettres A peuvent donc bouger que sur les positions allant de 2 à 11
les deux lettres "A" soient toujours encadrées par une consonne et une voyelle
est suffisamment flou pour que chacun comprenne ça de façon différente. et différente de ce que voulait dire flight...
je pense pas que ce soit flou voici un exemple
UAOXGTAEDPIZK dans cet exemple chaque lettre A est "encadrée " par une consonne et une voyelle non ?
c'est aussi le cas pour cet exemple :
UXTGAADOPIZEK
18h43 c'est dpi 
on peut parce que le deuxième A sert de voyelle pour le premier et réciproquement.
bref les cas possibles (et les seuls) sont, après ces précisions
(v = une voyelle autre que A , c = une consone, ∗ = 0 ou plus lettres quelconques)
∗cAAc∗ (mais pas ∗vAAv∗)
∗vAcAv∗
∗cAvAc∗
∗vAc∗vAc∗
∗vAc∗cAv∗
∗cAv∗vAc∗
∗cAv∗cAv∗
certes, mais pourtant A est bien une voyelle !
dans ∗cAAc'∗ (c et c' deux consonnes différentes parmi XGTDPZK)
le 1er A est bien encadré par la consonne c et la voyelle A (le deuxième A)
le 2ème A est bien encadré par la voyelle A (le premier A) et la consonne c'
dans ∗vAAv'∗ v et v' parmi UEOI, chaque A est encadré de deux voyelles, (l'autre A et v ou v') donc rejeté.
Bonsoir
je propose la solution suivante
- cas ou les deux "A" ne voisinent pas , ces derniers peuvent se deplacer entre les rangs 2 à 11
Soit C(11,2) places possibles auxquelles je retire 11-2+1 =10 cas pour lesquels les deux "A" voisinent soit deja C(11,2)*10 cas , ensuite pour encadrer chaque "A" on choisi pour le premier une voyelle et une consonne soit C(4,1)*C(7,1)*2! facons (avec les permutations) , puis pour la deuxieme lettre "A" on fait de meme avec C(3,1)*C(6,1)*2! choix possibles , il reste 7 lettres à placer avec les ordres possibles soit en tout C(11,2)*10 * C(4,1)*C(7,1)*2! *C(3,1)*C(6,1)*2!*7! = 457228800 cas possibles .
ensuite pour les cas ou les deux "A" sont cote à cote , ils peuvent donc rester collés en se déplacant entre le rang 2 et le rang 11 de 10 facons possibles , ces deux lettres sont encadrées par des consonnes de C(7,2)*2! facons possibles et il reste 9 lettres qu'on peut disposer de 9! facons possibles donc pour ce deuxieme cas de figure on a 10*C(7,2)*2!*9! = 10!C(7,2)*2!=152409600
ce qui fait un total global de 457228800 + 152409600 = 609638400 possibilités , en terme de proba cela se réaliserait avec presque 20% de chance
Bonsoir flight,
je suis d'accord avec ton résultat. Dans le calcul que j'avais posté le 25-09-23 à 21:26 j'avais donné comme résultat final la valeur du quatrième cas au lieu d'ajouter les cas 1, 2, 3 et 4.
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