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Comment aborder la différentielle
Bonjour à tous,
suite à la lecture de quelques livres de calcul différentiel, je me suis posé une petite question. Dans mon cours de deuxième année sur les E-V normés, on m'avait posé la définition de la différentielle comme ça, assez brutalement, et si mes souvenirs sont bons j'étais même venu ici pour avoir une intérpretation. Bref, il m'a fallu un peu de temps pour voir sur un "dessin" dans R^3 ce que c'était (pas compliqué), et j'ai bien compris alors quand mon prof de TD nous a introduit les dérivées directionnelles. Mais en lisant des livres, je me suis rendu compte que les approches sont totalement différentes entre ceux qui posent la définition et qui continuent avec ça, et ceux qui partent des dérivées directionnelles pour donner l'intuition de ce qu'est la différentielle (approche que j'aime mieux) avant de l'introduire, notamment avec des fonctions pentes. Je suis curieux de voir commment, vous les professeurs ou les passionés, vous abordez la question.
Salut Kernelpanic.
Je commence par une introduction générale pour dire de quoi il s'agit : observer une sorte de "taux de variation" d'une fonction entre deux points de son domaine de définition.
Je pars de la dérivée au sens classique dans (et/ ou
, ça dépend de qui j'ai en face) et je raconte que j'aimerais en faire autant avec des fonctions plus générales.
Alors je commence avec des applications et là, super, ça marche pour dériver.
Et ensuite je prend une application et là oops, soucis car quel sens donner à l'expression "taux de variation" dans ces cas-là ?
Alors je reviens dans , je bidouille la définition et je repars avec
.
Ensuite, selon le niveau je prends des exemples avec des espaces vectoriels de type ou bien, des EV plus généraux.
Et ensuite, c'est au cours du développement que j'aborde les directionnelles et leurs propriétés.
Mais en général, dès la définition de la différentielle, il y a déjà bien des questions auxquelles il faut répondre. Et notamment cette histoire d'application linéaire continue ainsi que la mise en place d'une notation rigoureuse. Et c'est pour ça que je pars de la dérivabilité dans et je glisse vers la différentiabilité dans
.
Bonsoir jsvdb, très intéressant comme approche, la plus intuitive... se dire "ok, je pars d'un résultat de R, j'aimerais bien le généraliser... problème numéro 1 : c'est quoi une limite dans un espace de dimension plus grand que 1 ?". J'aurais bien aimé ce genre d'approche, ça m'aurait évité de perdre du temps sur les 4 mêmes lignes de mon cours.
problème numéro 1 : c'est quoi une limite dans un espace de dimension plus grand que 1 ?".
Ça encore ça se résout avec la topologie.
Le vrai problème est "c'est quoi un taux d'accroissement quand tu ne peux pas faire un rapport de quantité ?"
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