Bonsoir Cindy.
Une méthode visuelle avec la notion de réduction et agrandissement.
Il faut aussi savoir que si un triangle rectangle est isocèle, ses deux angles aigus valent 45 degrés et, réciproquement, si un triangle rectangle a un angle de 45 degrés, il est isocèle et son autre angle vaut 45 degrés.
Le rectangle peut être quadrillés en 18 x 6 carreaux et être divisé en trois carrés de 6 x  6 carreaux.
Dans le côté [CB], soient G tel que CG = CB/3 et H = CH/2.
Les triangles GFC et HFC sont des réductions respectivement des triangles BDC et BEC.
Donc angle GFC = angle BDC et angle HFC = angle BEC.
Le triangle BCF étant rectangle isocèle, l'angle BFC = 45°.
Choisissons comme unité de longueur le côté d'un carreau et soit d la diagonale d'un carreau (il n'est même pas nécessaire de savoir que c'est √2).
Soit J le pied de la perpendiculaire de H sur (FB), perpendiculaire qui rencontre [BA] en K.
BFC, JBH, BHJ JBK valent 45 degrés. (HK) suit la direction d'une diagonale de carreau. HB = 3, donc HK = 3d.
Les hypoténuses des triangles rectangles isocèles JHB et JBK sont égales à 3. Leurs côtés d'angles droits sont donc égaux et JH = JK = HK/2 = 1,5d.
On a aussi JB = 1,5d. FJ = FB-JB = 6d-1,5d = 4,5d.
JH = 1,5d et CG = 2 : JH = CG x 0,75d.
FJ = 4,5d et FC = 6; FJ = FC x 0,75d.
Les triangles rectangles FCG et FJH ont ainsi leurs côtés d'angle droit proportionnels chacun à chacun et l'un est un agrandissement de l'autre. Donc angle angle HFJ = angle GFC.
Or angle HFJ + angle HFC = angle BFC = 45 degrés.
Donc angle GFC + angle HFC = 45 degrés.
Angle BDC + angle BEC = 45 degrés. En ajoutant l'angle BFC, cela fait 90 degrés.

NB : j'ai d'abord cherché le résultat avec la calculatrice et la fonction tangente, avant de le démontrer.

Bonjour,

je crois avoir trouvé une autre approche.

Pour cela, on prend AD=DE=EF=FC=1, d'où BF=V2 (racine carrée de 2).

Dans le triangle BDF :
BFD=135° et BF/FD=V2/2

Dans le triangle BEF :
BFE=135° et FE/FB=1/V2=V2/2

Je crois bien que ceci prouve que les triangles BDF et BEF sont semblables (ils ont les mêmes angles).

Ainsi, on a : DBF=BEC.

De plus, on a par symétrie : ABD=BDC et CBF=BFC=45°.

Ainsi, si on regarde l'angle ABC :

ABC=ABD+DBF+FBC=BDC+BEC+FBC=90°.

Et voilà, le tour est joué !

Une petite figure et un peu de couleur, c'est plus clair.

Ce problème m'a fait penser à une question du concours kangourou que voici, mais ce n'est pas exactement la même chose.

(extrait du concours kangourou 2003, niveau 4ème-3ème)

merci à tous les deux. Plumemeteore cette approche me paraît trop complexe pour eux surtout qu'au concours ils ont peu de temps pour réfléchir à chaque question. Je vais donc me servir de la méthode de jamo.

Encore merci à tous les deux.

Quel est le niveau de ces "futurs orthophonistes" ?

euh certains sortent de terminale s mais pour d'autres les maths ne sont pas leur tasse de thé...

Bonjour Jamo.
Ta démonstration est plus simple que la mienne, mais la deuxième partie peut en être encore simplifiée.
Les triangles BFE et DFB sont semblables parce qu'ils ont un angle commun compris entre deux côtés proportionnels chacun à chacun.
Donc angle FBE = angle FDB.
Or dans le triangle BFE, la somme des angles B et E est 45 degrés, puisque l'angle F vaut 135 degrés.
Donc angle BDF + angle BED = 45 degrés.