Bonjour,

tu peux regarder la construction axiomatique de Peano des entiers naturels (par exemple, le livre "Numbers" de H.-D. Ebbinghaus et al) ou celles par les ensembles (je ne sais plus qui en est à l'origine). Il me semble que dans ce bouquin, on utilise le théorème de récurrence mais à vérifier...

Cela dépend aussi comment on définit la multiplication des entiers naturels. Si c'est par récurrence (et c'est la seule définition que je connaisse), alors mon précédent message devrait faire ton bonheur .

Bonne journée

Bonjour,
Je n'ai pas accès au livre que vous citez; par contre j'ai trouvé sur internet un polycopié de Daniel Perrin sur les propriétés axiomatiques de N et la construction de Z.
Ce poly est très bien fait; et l'on comprend bien que tout se démontre à l'aide du principe de récurrence qui est le 3ème axiome de la théorie de Peano.
Cela m'a apporté entière satisfaction.
Merci pour votre intervention.

Parfait ! Si c'est toujours d'intérêt, je peux fournir un pdf du livre Numbers par mail, il suffira simplement de remplir le champ "adresse mail" du compte. Toutefois c'est en anglais !

salut

Rintaro : je suis intéressé par le bouquin aussi peux-tu me l'envoyer ?

merci par avance

Plot : peux-tu aussi mettre le lien du PDF ... qui pourrait servir à tout le monde ... et en particulier à moi

merci par avance aussi

Bonjour,
@carpediem,
Mettre un lien dans un message de l'île, ce n'est pas la même chose qu'envoyer un pdf par courriel.
Ça peut gêner Rintaro.
@ Plot,
Tu peux remplir le champ "adresse mail" de ton compte le temps de recevoir le pdf. Puis enlever ton adresse de ton profil.
Si ça te pose un problème, tu peux envoyer un courriel à carpediem qui pourra ainsi te le transférer quand il le recevra.

oui Sylvieg tu as parfaitement raison :

pour le bouquin il y a mon mail dans mon profil ;

pour le PDF de Daniel Perrin qui publie régulièrement des choses c'est plus publique (on trouve d'ailleurs plein de choses intéressantes sur son site tant disciplinaire que didactique) et je pense qu'un lien ici est "convenable"  et intéressera sûrement beaucoup de monde.

Voici le lien vers le pdf que j'ai trouvé sur internet. C'est un cours de Daniel Perrin.

_{* Sylvieg > lien rectifié *}

malou edit > mis en lien

merci Plot

Bonsoir à tous, je viens de rentrer, désolé pour le retard. Je vous envoie le pdf tout de suite !

Bonjour,

Je reviens vers vous car j'ai une question sur la preuve de l'associativité du produit.

Comme suggéré dans le texte, on fixe a et b et on pose C l'ensemble des c tels que a*(b*c)=(a*b)*c.

On a a*(b*0)=a*0=0 (par définition la multiplication par 0 donne 0); et (a*b)*0=0. Donc 0 appartient à C.

Stabilité de C : on suppose que a*(b*c)=(a*b)*c et on montre que  a*(b*s(c))=(a*b)*s(c).

D'une part a*(b*s(c))=a*(b*c+b) par définition du produit.

D'autre part (a*b)*s(c)=(a*b)*c+(a*b)= a*(b*c)+a*b (définition du produit puis hypothèse de récurrence).

Comment justifie-t-on que a*(b*c+b)= a*(b*c)+a*b ?

En effet, l'associativité est la première propriété que l'on démontre, donc je ne peux pas faire appel à la distributivité du produit sur la somme.

Merci.

Bonsoir,
dans le PDF il y a une note indiquant qu'il vaut mieux commencer par démontrer la distributivité.
En fait il est assez simple de montrer que a*(b+c)=a*b+a*c à partir des définitions.
Je n'ai pas essayé de montrer que (a+b)*c=a*c+b*c qui est sans doute à faire après avoir montré la commutativité ( c'est alors trivial ).

Bonjour,
Effectivement, il est noté en commentaire de commencer par prouver la distributivité. Je n'ai pas rencontré de difficulté pour le prouver et par suite c'est bon aussi pour la commutativité.
Merci.

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