Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Master Maths [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Master Maths
Partager :

Compact espace petit lp

Posté par
Rilcy 20-01-19 à 00:37

Bonsoir,
\\
1\leq p<\infty \\\\ K\subset l^{P}
K est compact si et seulement si:
_1)K est ponctuellement bornée
i.e: \forall i \in \mathbb{N}, \ \forall \epsilon >0 ,\ \exists M_{i}, \ \forall (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in K, \ |x_i|<M_i

_ 2)De plus on a:
\forall \epsilon >0 ,\ \exists N \in \mathbb{N} , \ \forall (x_n)_{n \in} \in K, \ \sum_{i>N}{|x_i|^{p}}<\epsilon^{p}

Je cherche à montrer K compact implique 2).
J'ai essayé par l'absurde:
On suppose que il existe \epsilon_0>0 tel que \forall N \in \mathbb{N}, \exists x_n \in K, \sum_{i>N}{|x_i|^{p}}>\epsilon_0^{p},
mais je ne parviens pas à trouver de contradiction... pouvez vous m'aidez svp?

Posté par
Foxdevilre : Compact espace petit lp 20-01-19 à 02:11

Bonsoir,

Propriété de Borel-Lebesgue?

Posté par
Rilcyre : Compact espace petit lp 20-01-19 à 10:10

Pour préciser X compact <=> de tout recouvrement fini d'ouvert on peut extraire un soud recouvrement fini.
<=> X totalement borné et complet.
<=> De toute suite de X on peut extraire une sous-suite convergente.

Posté par
Rilcyre : Compact espace petit lp 20-01-19 à 10:17

Pour préciser X compact <=> de tout recouvrement fini d'ouvert on peut extraire un soud recouvrement fini.
<=> X totalement borné et complet.
<=> De toute suite de X on peut extraire une sous-suite convergente, qui converge dans X

Posté par
Rilcyre : Compact espace petit lp 20-01-19 à 13:22

Aidez moi svp, je ne sais plus quoi faire.

Posté par
Foxdevilre : Compact espace petit lp 20-01-19 à 13:37

Tu n'as pas nécessairement à passer par l'absurde...

Citation :
Propriété de Borel-Lebesgue?

Comme je le disais, essaie de trouver un recouvrement ouvert lié à la condition...

Posté par
Foxdevilre : Compact espace petit lp 20-01-19 à 13:41

D'ailleurs il ya une erreur dans ton énoncé de BL...

C'est de "tout recouvrement" (et non fini). C'est tout l'intérêt de la propriété...

Posté par
Rilcyre : Compact espace petit lp 20-01-19 à 16:54

Ok d'accord merci, je crois que je l'ai:
Soit \epsilon >0
Tout d'abord K compact implique K est totalement borné,
donc il existe x_1,...,x_n \in K tel que K =\bigcup_i^n{B(xi,\frac {\epsilon}{\sqrt[p]{2\times 2^{p-1}}})}


Maintenant, il existe un N telque \sum_{k >N } {|xi_k|^p} < \frac{\epsilon ^{p}}{2^{p-1}} \  ,\forall 1 \leq i \leq n

Soit y \in K,
\exists i tel que ||x_i -y||_p<\frac {\epsilon}{\sqrt[p]{2\times 2^{p-1}}}

d'ou \sum_{k>N} {|y_k|^p} \leq \sum_{k>N} {(|y_{k}-xi_k|+|xi_k|)^p} \leq  \frac {1}{2}\sum_{k>N} {|2(y_{k}-xi_k)|^p} +  \frac {1}{2}\sum_{k>N} {|2(xi_k)|^p}    
(par converxité de f : t ->t^p)

\leq \frac {\epsilon^{p}}{2} +\frac {\epsilon^{p}}{2}

Posté par
Foxdevilre : Compact espace petit lp 20-01-19 à 23:58

Ça m'a  l'air impec!

Posté par
etniopalre : Compact espace petit lp 21-01-19 à 10:20

@Rilcy
  Je ne comprends pas ce que tu fais ( pour démontrer que  K compact implique 2).  

p [1 , +[ , E = lp() , N la norme u ( |u|p)1/p .

...Pour n , pn  : u u(n) est  linéaire et continue de E sur .
   De là , si K est un compact de E , chaque  pn(K) est un compact de   . K vérifie donc
k1 :   \forall i \in \mathbb{N},  \ \exists M_{i}, \ \forall u \in K, \ |u(i)|<M_i
(qui n'est pas ta première propriété où  la présence de est superflue )

...Pour u E et n soit  Rn(u) la suite vérifiant  Rn(u)  = 0  sur {0 , ...,n} et Rn(u) = u  sur {n+1 , .....} .
  Si t  est un réel > 0 et n ,  soit Vn(t)  := { u E │  N( Rn(u) ) < t } . C'est  un ouvert de E .

Pour tout t > 0 , { Vn(t)  │ n } est un recouvrement de E  et  il est clair que  t   Vn (t)  est décroissante .


Si K est un compact de E  il existe donc un nombre fini    de Vn(t)  qui recouvrent K et on a  :
k2 :  
\forall \epsilon >0 ,\ \exists N \in \mathbb{N} , \ \forall u \in} \in K, \ \sum_{i>N}{|u(i)|^{p}}<\epsilon^{p} .




Posté par
jsvdbre : Compact espace petit lp 21-01-19 à 10:37

@etniopal : bravo ! Tu utilises avec brio les outils de l'analyse qui permettent d'éviter les calculs fastidieux. Je la conserve celle-là


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !