Bonsoir,

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Je note A=2(n.a) et B=2ⁿ. a^n/2

Si n=1, A=B a

Si a1/4,    BA pour tout n

Si 1/4<a<e/4 , soit x* tel que ln(x*)/(x*-1)= ln(4a) et n*=E(x*) (partie entière) , alors
pour 1 n n*,   BA

pour n>n*,   BA

enfin si a>e/4,   BA

saur erreur bien entendu

Bonjour,

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Avec x=2(n.a)  et y=2ⁿ.a^(n/2)
si n=0, x=0<y=1 a

Avec n>0:
Soient z et t tels que:
z=2ln(x)=2ln(2)+(ln(n)+ln(a))
t=2ln(y)=2n.ln(2)+n.ln(a)
t-z=(n-1)ln(4a)-ln(n)

Si n=1, x=y

Avec n>1:
Si a=1, t<z donc y<x

Avec a>1 il reste à comparer ln(4a) et ln(n)/(n-1)
Là, je cherche comment l'exprimer...

Bonjour
S'il s'agit de comparer 2Van   à   2^n  V(a^n) qui, après simplification revient à comparer Vn  à  2^(n-1)  a^n  

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salut



si n = 0 alors x = 0 et y  = 1 donc x < y
si n = 1 alors x = y

la fonction racine carrée étant croissante, comparer x et y revient à comparer leur carré

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posons alors z = 4a ; on veut donc comparer u = nz et v = zⁿ

posons alors ; alors

et

de plus f(0) = 0

donc f est décroissante de l'intervalle [0, 1] dans [1 - n, 0] puis croissante de l'intervalle [1, +oo[ dans [1 - n, +oo[

il existe donc w > 1 tel que f(w) = 0 :

donc sur l'intervalle [0, w] y < x et sur l'intervalle [w, +oo[ x < y

REM : puisque z = 4a peut-être remplacer w par w/4 dans les intervalles précédents ...

Pourquoi tester les valeurs 0, 0.25 et 0.5 de a et n?

Effectivement, j'avais quant à moi considéré a réel positif et n entier...