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comparaison de fonctions
bonsoir,
J ai une question a vous poser et j ai un peu honte car ca fait longtemps que je n ai plus fait de math et je m y remet justement ... Bref passons au problème :
Il y a 3 fonctions à comparer sachant que x et y sont dans R+ (strictement positifs) :
soit f1(x,y) = x/2 + y/2
f2(x,y) = 1 / (1/x + 1/y)
f3(x,y) = racine(xy)
pour les 2 premieres j ai fait f1(x) - f2(x) = (x² - y²) / (2 * (x + y))
pour tout x et y dans R+ 2 * (x + y) toujours plus grans que 0 donc je m occupe que du numérateur.
j en deduis que f1 est plus grand que f2 ssi x > y.
Le problème viens de f3 ... J ai commence a faire cela :
f1(x,y) > f2(x,y)
<=> x/2 + y/2 > racine(xy)
<=> x²/4 + y²/4 > xy
<=> (x/2 - y/2)² > 0
donc j en deduis que f1 est toujours plus grand que f3 dans R+.
Ensuite je compare f2 et f3:
1 / (1/x + 1/y) > racine(xy)
<=> xy/(x+y) - racine(xy) > 0
<=> racine(xy)/(x+y) - 1 > 0
<=> .... et apres je sais plus quoi faire 
Merci de votre aide.
En gé,éral pour répondre a ce genre d'exercice, y a t il d autre demonstration a utiliser ?
Zut... j ai oublié pour la comparaison de f1 et f2 en ]0, 1[.
- En ]0, 1[ f1 supérieur à f2 si x < y .
- En [1, +inf[ f1 supérieur à f2 si x > y .
Bonjour
1/(1/x+1/y)=xy/(x+y)
écrivons que
xy/(x+y)<(x+y)/2
2xy<(x+y)² (comme x et y strictement>0, on peut faire le produit en croix)
0<x²+y²
ce qui est toujours vérifié
pour Vxy et x/2+y/2
écrivons
Vxy<(x+y)/2
2Vxy<x+y
4xy<(x+y)²
0<(x-y)²
ce qui est toujours vérifié
Bon travail
.
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