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condition nécessaire et suffisante d'extremum (leçon 75)

Posté par
littlefleabass 26-05-09 à 10:46

Bonjour, je prépare la leçon 75 : applications de la dérivation à l'étude des extremums éventuels d'une fonction numérique d'une variable réelle.

Aprés avoir défini les extremums globaux et locaux et donner des conditions nécessaires et des conditions suffisantes d'existence d'un extremum, je voulais donner le théorème suivant qui donne une condition nécessaire et suffisante:

Soit f une fonction définie sur un intervalle réel I d'intérieur non vide et xo un point dans l'intérieur de I tel que f'(xo)=0
S'il existe p (p2) tel que f soit dérivable à lo'rdre p en xo avec f^(p)(xo)0 et f^(k)(xo)=0 pour tout k{1,...,p-1}.
Alors f admet un extremum local strict en xo (minimum si f^(p)(xo)>°, maximum si f^(p)(xo)<0) ssi p est pair.

Pour la démo, la seule que j'ai trouvée et dans la leçon suivante : (p.3 proposition 0.2.3)
Il utilise une récurrence sur l'entier n avec la proposition P(n) suivante:
Toute fonction définie sur I, n fois dérivable sur l'intérieur de I telle que f⁽ⁿ⁾(xo)>0 et f^(k)(xo)=0 pour tout k dans {0,..n-1} satisfait aux conditions suivantes:
(i) Si n est pair, f admet un minimum strict en xo
(ii) Si n est impair, il existe un réle r>>0 tel que si x]xo-r,xo[I, f(x)<f(xo)
et si x]xo,xo+r[I, f(x)>f(xo).

Je ne comprends pas comment il montre l'hérédité. Avez vous des explications??

De plus dans la leçon que nous avons faite en cours l'étudiant qui est passé a donné le theoreme suivant qui donne uniquement une condition suffisante:
Si f est de classe C^p sur I et si pour k dans {1,..,p-1} f^(k)(c)=0 et si f^(p)(c)0 alors f admet un extremum local en c (qu'il montre avec taylor-young)
N'est ce pas en contradiction avec le théorème plus haut??

Pouvez vous m'éclairer? Merci beaucoup

Posté par re : condition nécessaire et suffisante d'extremum (leçon 75) 26-05-09 à 19:33

A priori, le dernier théorème est faux : prendre par exmple $f(x)=x^3$ en 0. La première dérivée successive non nulle en 0 est $f^{(3)}(x)=6$ mais il n'y a pas d'extremum, même local, en 0. Penser aux points d'inflexion des courbes...
C'est donc bien si la première dérive successive non nulle est d'ordre pair qu'on a un extremum local. En effet (en prenant x0=0 pour simplifier, et n l'ordre de la première dérivée non nulle) on a :
$f(x)-f(0)= \frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}+o(x^n) = \frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}(1+o(1))$
Donc sur un voisinage de 0 (supposons $f^{(n)}(0)>0$ , sinon les inégalités sont inversées)
$\frac{1}{2}\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} \le f(x)-f(0) \le \frac{3}{2}\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}$
Donc :
+ si n est pair : le membre à droite est strict. positif sur le voisinage (0 exclus) et l'on a un minimum strict local en 0
+ si n est impair : le membre de droite est strict. positif pour x>0, le membre de gauche est strict. négatif pour x<0, et l'on retrouve le cas (ii) évoqué dans la question

Posté par re : condition nécessaire et suffisante d'extremum (leçon 75) 27-05-09 à 11:19

À la réflexion, j'ai fait une erreur de signe... Tout dépend du signe de $f^{(n)}(0)x^n$ . Je reprends (en espérant que cette fois-ci c'est OK) : quitte à considérer -f, on peut supposer $f^{(n)}(0)>0$

1/ Si n est pair

Alors $f^{(n)}(0)x^n>0$ pour $x \neq 0$ et sur le voisinage privé de 0 on a
$0 < \frac{1}{2}\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} \le f(x)-f(0)$

Il y a donc minimum strict local

2/ Si $f^{(n)}(0)>0$ et n est impair

Sur un voisinage on a :
Pour $x > 0$ , $f^{(n)}(0)x^n>0$ , donc :
$0 < \frac{1}{2}\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} \le f(x)-f(0)$

Pour $x < 0$ , $f^{(n)}(0)x^n<0$ , donc :
$f(x)-f(0) \le \frac{1}{2}\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} < 0\$

Il n'y a pas de minimum local