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congruence

Posté par
salome
03-01-15 à 14:00

Bonjour, j'ai un DM à faire en spé math et je suis bloquée à la dernière question. Pouvez vous m'aider ?
1.soit n un nombre entier naturel
a)demontrer que pour tout nombre entier naturel k on a 2^3k est congru à 1 modulo 7.
b) quel est le reste dans la division euclidienne de 2^2009 par 7 ?
2. Soit a  et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a différent de 0.
on considere le nombre N=a*10^3+b
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.
a) vérifier que 10^3 est congrue à -1 modulo 7
b) en déduire  tous les nombres entiers N cherchés.

Je bloque à la dernière question 2.b), merci de votre aide

Posté par
flight
re : congruence 03-01-15 à 14:38

salut

a) 8=1[7]  soit 2^3=1[7]  et 2^(3k)=1[7]

b) 2009 = 3*669 + 2   2^(3*669)=1[7]  et donc  2²*2^(3*669)=4[7]  donc le reste est 4

Posté par
salome
congruence 03-01-15 à 14:40

Salut , Merci pour ta réponse mais c'est au 2.b) que je suis bloquée

Posté par
flight
re : congruence 03-01-15 à 14:58

N = a10^3 + b

1000=6[7] or 6=-1[7]  et donc  1000=-1[7] alors  1000.a = -a[7]  et  1000a + b = -a+b[7]  et donc pour que

N soit divisible par 7 il faut que  -a+b =0[7]  soit aussi b = a+7k  d'ou N = 1000.a + a + 7k

soit N = 1001.a + 7k    si on choisit a = 9 en faisant varier k , alors par exemple pour k =0 on a N = 9009

divisible par 7 , si k =1 alors N = 9016 est divisible par 7  etc....

Posté par
salome
congruence 03-01-15 à 15:08

Merci pour ton aide!

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 15:35

Bonjour, J'ai le même exercice mais je n'arrive pas à faire la  2.a  :/
Merci d'avance !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 15:43

Bonjour,
Tu ne sais pas démontrer \; 103 -1 [7] \; ?

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 15:46

Non, mon prof nous a à peine expliquer comment les congruences marchent :/

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 16:32

Tu fais la division euclidienne de 103 par 7.
Si tu ne vois toujours pas, tu lis le début de la 2nde ligne du message du 03-01-15 à 14h58.

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 16:35

10^3=142×7+6
Donc 10^3 =6[7]
Or on peux aller dans les négatif
Donc 10^3=-1[7]
C'est cela ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 16:42

Oui, en mettant quelques à la place de = :
10^3=142×7+6
Donc 10^3 6 [7]
Or -1 6 [7]
Donc 103 -1 [7]

Tu vois que ce n'est pas si compliqué
C'est classique d'avoir des difficultés au début avec les congruences.
Mais en faisant des exercices, on finit par les domestiquer.

Explore les boutons sous la zone de saisie :
"" pour les symboles mathématiques dont .
"X2" pour les exposants.
Il faut faire "Aperçu" avant de poster même quand on les maitrise bien.

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 16:44

Ah d'accord je savais pas qu'on pouvais mettre des signes mathématiques,merci. Je commence à comprendre mais la question d'après j'ai pas compris le résonnement qu'il faut suivre pour réussir

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 16:53

N = a103 + b

103 -1 [7] \; ; donc \; a103 -a [7] .

Et \; N -a + b [7] .

On cherche donc a et b tels que -a+b 0 [7].
Il n'y a pas 36 possibilités car a et b sont "deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a différent de 0".

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 16:55

Si j'ai bien compris il faut dire les chiffre entre 1 et 9 qui se divise par 7 sans reste ?

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 17:00

Du genre - 1 +8 0[7]
Avec a =1 et b=8

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 17:01

-a+b 0 [7] \; \; b-a 0 [7] \; \; 7 divise b-a

Les valeurs possibles de b sont 0, 1, 2, ... , 9.
Tu cherches pour chacune de ces valeurs de b les entiers a tels que b-a soit divisible par 7.

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 17:02

Ah d'accord j'ai compris merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 17:03

Oui pour a =1 et b=8
Tu peux vérifier que 8001, c'est à dire N, est divisible par 7.

Il te reste à trouver les autres possibilités.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 17:03

De rien. Tu es très réactif.
Dis moi toutes les solutions que tu trouves.

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 17:15

Est ce que cela marcherait de faire un tableau avec toute les valeurs de a et b pour ensuite trouver ce qui marche ?

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 17:25

Mais toutes les valeurs de b et de a marchent tant qu'on modifie les valeurs de a en fonction de b et vice versa

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 17:27

Ça ferait 90 essais...
Tu peux faire par disjonction de cas sur les valeurs possibles de a ou de b.
Tu as commencé avec a = 1.

1) Si a = 1, chercher b tel que b-1 soit multiple de 7.
Tu as trouvé 8.
2) Si a = 2, chercher b tel que b-2 soit multiple de 7.
....
....
9) Si a =9, chercher b tel que b-9 soit multiple de 7.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 17:29

Certaines valeurs de a ne marchent pas car b est un entier naturel inférieur ou égal à 9.

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 17:36

a=9 et b=9 marchent aussi car 9-9 =0  et 0 est un multiple de 7

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 17:44

Oui. Et aussi car j'ai vérifié que 9009/7 est bien un entier

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 17:45

Il en reste combien à trouver ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 17:50

Finalement, j'ai l'impression que toutes les valeurs de a marchent...
Il suffit de choisir b = a.
Mais il y a des valeurs de a où on trouve plusieurs b.

Je te laisse chercher tranquillement.

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 17:51

Oui j'avais remarqué ça aussi , je vous laisse bonne soirée

Posté par
Nabla2363
re : congruence 30-10-20 à 17:52

Merci pour tout, je pense pouvoir finir le reste seul.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 17:57

Pour a = 1, il y a deux valeurs de b qui conviennent : 1 et 8.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : congruence 30-10-20 à 17:59

Il y en a 14 en tout.
Bonne soirée à toi aussi



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