Bonjour, j'ai un DM à faire en spé math et je suis bloquée à la dernière question. Pouvez vous m'aider ?
1.soit n un nombre entier naturel
a)demontrer que pour tout nombre entier naturel k on a 2^3k est congru à 1 modulo 7.
b) quel est le reste dans la division euclidienne de 2^2009 par 7 ?
2. Soit a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a différent de 0.
on considere le nombre N=a*10^3+b
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.
a) vérifier que 10^3 est congrue à -1 modulo 7
b) en déduire tous les nombres entiers N cherchés.
Je bloque à la dernière question 2.b), merci de votre aide
salut
a) 8=1[7] soit 2^3=1[7] et 2^(3k)=1[7]
b) 2009 = 3*669 + 2 2^(3*669)=1[7] et donc 2²*2^(3*669)=4[7] donc le reste est 4
N = a10^3 + b
1000=6[7] or 6=-1[7] et donc 1000=-1[7] alors 1000.a = -a[7] et 1000a + b = -a+b[7] et donc pour que
N soit divisible par 7 il faut que -a+b =0[7] soit aussi b = a+7k d'ou N = 1000.a + a + 7k
soit N = 1001.a + 7k si on choisit a = 9 en faisant varier k , alors par exemple pour k =0 on a N = 9009
divisible par 7 , si k =1 alors N = 9016 est divisible par 7 etc....
Tu fais la division euclidienne de 103 par 7.
Si tu ne vois toujours pas, tu lis le début de la 2nde ligne du message du 03-01-15 à 14h58.
Oui, en mettant quelques à la place de = :
10^3=142×7+6
Donc 10^3 6 [7]
Or -1 6 [7]
Donc 103 -1 [7]
Tu vois que ce n'est pas si compliqué
C'est classique d'avoir des difficultés au début avec les congruences.
Mais en faisant des exercices, on finit par les domestiquer.
Explore les boutons sous la zone de saisie :
"" pour les symboles mathématiques dont .
"X2" pour les exposants.
Il faut faire "Aperçu" avant de poster même quand on les maitrise bien.
Ah d'accord je savais pas qu'on pouvais mettre des signes mathématiques,merci. Je commence à comprendre mais la question d'après j'ai pas compris le résonnement qu'il faut suivre pour réussir
N = a103 + b
103 -1 [7] ; donc a103 -a [7] .
Et N -a + b [7] .
On cherche donc a et b tels que -a+b 0 [7].
Il n'y a pas 36 possibilités car a et b sont "deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a différent de 0".
-a+b 0 [7] b-a 0 [7] 7 divise b-a
Les valeurs possibles de b sont 0, 1, 2, ... , 9.
Tu cherches pour chacune de ces valeurs de b les entiers a tels que b-a soit divisible par 7.
Oui pour a =1 et b=8
Tu peux vérifier que 8001, c'est à dire N, est divisible par 7.
Il te reste à trouver les autres possibilités.
Est ce que cela marcherait de faire un tableau avec toute les valeurs de a et b pour ensuite trouver ce qui marche ?
Mais toutes les valeurs de b et de a marchent tant qu'on modifie les valeurs de a en fonction de b et vice versa
Ça ferait 90 essais...
Tu peux faire par disjonction de cas sur les valeurs possibles de a ou de b.
Tu as commencé avec a = 1.
1) Si a = 1, chercher b tel que b-1 soit multiple de 7.
Tu as trouvé 8.
2) Si a = 2, chercher b tel que b-2 soit multiple de 7.
....
....
9) Si a =9, chercher b tel que b-9 soit multiple de 7.
Finalement, j'ai l'impression que toutes les valeurs de a marchent...
Il suffit de choisir b = a.
Mais il y a des valeurs de a où on trouve plusieurs b.
Je te laisse chercher tranquillement.
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :