Bonjour,
Je vous remercie de bien vouloir me donner un coup de pouce pour résoudre l'exercice qui suit et  ci-joint mes solutions proposées:

On se propose de déterminer les couples (n;m)d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F): 7ⁿ-3*2^m=1
1. On suppose que m4. Montrer qu'il y a exactement deux couples solutions et les déterminer.
2. On suppose maintenant que  m5.
(a) Montrer que si le couple (n;m) vérifie la relation (F), alors 7ⁿ1[32].
(b) En étudiant les restes de la division euclidienne par 32 des puissances de 7, montrer que si (n;m) vérifie la relation (F), alors n est divisible par 4.
(c)En déduireque si le couple (n;m) vérifie (F), alors 7ⁿ 1[5].
(d) Pour m5, existe-il- des couples d'entiers vérifiant (F)?
3. Conclure sur le problème initial.

Voici mes propositions de solutions :
1. J'ai testé (F) avec le couple (1;1)qui la vérifie. Puisque m4, j'ai testé (F) avec le couple (2;4)qui la vérifie; puisqu'il ne devrait exister que 2 couples, je pense les avoir trouvés, mais comment montrer rigoureusement qu'il n'existe exactement que ces deux couples, svp?
2. (a) Testant 7ⁿ1[32], avec  n =1 à 9, je constate que : 77[32]; 7²17[32];7³23[32];7⁴1[32]; 7⁵7[32];7⁶17[32];...; j'en déduis :
7^(4k+4)1[32], avec kprivé de 0
2.(b) je déduis de (a) que les restes de la division euclidienne par 32 des puissances de 7 sont : 1;7;17;23. En supposant que j'ai montré que si le couple (n;m) vérifie la relation(F), alors 7^(4k+4)1[32], alors n = 4k+4 = 4(k+1).
(c)Par une démarche similaire à celle de (b), on trouve 7^(4k+4)1[32]
(d) les tests sur les couples (n;m), n variant de 1 à 4 et m de 5 à 10 ne sont pas probants : je suis donc tenté de répondre par la négative à la question (d).

3. Conclusion sur le problème initial : Il existe deux couples uniques (1;1) et (2; 4) vérifiant la relation (F)