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Congruence

Posté par Profil Ramanujan 08-03-19 à 17:29

Bonjour,

x \equiv 78 [26] est-ce la même chose que x \equiv 0 [26] ?

Comment le démontrer ?

Posté par
larrechre : Congruence 08-03-19 à 18:00

Bonjour,

Il suffit de vérifier, si oui ou non,  78\equiv 0 [26]

Posté par Profil Ramanujanre : Congruence 08-03-19 à 18:05

Merci ! 78 = 3 x 26 donc ça marche !

Posté par
larrechre : Congruence 08-03-19 à 18:06

Oui

Posté par Profil Ramanujanre : Congruence 08-03-19 à 18:17

J'ai une autre petite question :

Pourquoi quand on a : a \equiv b [26]

C'est équivalent à :  a \equiv b + 3 \times 26 [26] ?

Posté par
malou Webmasterre : Congruence 08-03-19 à 18:19

peut-être reprendre la définition de "être congru à..., modulo...."

Posté par Profil Ramanujanre : Congruence 08-03-19 à 18:28

26 divise (a-b)

26 divise  (a-b + 3 x 26) car (a-b) et 26 sont divisibles par 26

Posté par Profil Ramanujanre : Congruence 08-03-19 à 18:30

Réciproquement :

Si 26 divise  (a-b + 3 x 26) là je bloque pour montrer que 26 divise (a-b)

Posté par
larrechre : Congruence 08-03-19 à 18:41

Inutile.

b + 3 \times 26 et   b ont même reste par 26 et ça suffit

Posté par Profil Ramanujanre : Congruence 08-03-19 à 18:46

Ah d'accord mais je vois pas comment montrer qu'ils ont le même reste...

Posté par
larrechre : Congruence 08-03-19 à 19:15

Le reste de 3\times26 par 26 est nul

Posté par Profil Ramanujanre : Congruence 08-03-19 à 19:26

Ah d'accord merci on peut additionner les restes comme on peut additionner les congruences.

Posté par
larrechre : Congruence 08-03-19 à 19:41

Non, on n'additionne pas les restes, car il faut que le reste soit inférieur au diviseur.

Mais ici, si b=26 q+r avec r<26, b+3*26=26(q+3)+r, donc le reste ne change pas.

Posté par
carpediemre : Congruence 08-03-19 à 19:46

larrech @ 08-03-2019 à 19:41

Non, on n'additionne pas les restes, car il faut que le reste soit inférieur au diviseur.  faux

Mais ici, si b=26 q+r avec r<26, b+3*26=26(q+3)+r, donc le reste ne change pas.


8 = 2 * 6 - 4 permet de conclure que  8 -4 [2]

17 = 2 * 5 + 7 permet de conclure que 17 7 [2]

17 = 2 * 5 + 7 est une division de 17 par 2 mais n'est pas la division euclidienne de 17 par 2

Posté par
larrechre : Congruence 08-03-19 à 19:51

Je parlais d'une division euclidienne bien entendu. Je pensais que ça allait de soi dans le contexte, mais bon...

Posté par
carpediemre : Congruence 08-03-19 à 20:02

Ramanujan @ 08-03-2019 à 18:30

Réciproquement :

Si 26 divise  (a - b + 3 x 26) là je bloque pour montrer que 26 divise (a - b)
26 divise a - b + 3 * 26
26 divise 3 * 26

donc par combinaison linéaire 26 divise 1 * (a - b+ 3 * 26) - 1 * (3 * 26) = a - b

Posté par
larrechre : Congruence 08-03-19 à 20:07

Posté par
carpediemre : Congruence 08-03-19 à 20:22

merci ... mais je n'ai guère de mérite tellement c'est une trivialité

c'est une "évidence" que si d divise n alors d divise n + dk pour tout k ...

Posté par
carpediemre : Congruence 08-03-19 à 20:22

et réciproquement ... bien sur ...

Posté par
larrechre : Congruence 08-03-19 à 20:51

carpediem @ 08-03-2019 à 20:22

merci ... mais je n'ai guère de mérite tellement c'est une trivialité...


Ah bon ? J'avais pas remarqué.

Posté par Profil Ramanujanre : Congruence 08-03-19 à 21:34

Merci Carpediem !

Posté par
carpediemre : Congruence 09-03-19 à 09:58

de rien


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