Niveau Préparation CRPE

Congruence.

Posté par
bouchaib 07-08-24 à 02:15

Bonsoir / Bonjour

  Je lis une règle pour trouver les valeurs de n quand la congruence est inconnue.
" il faut écrire la congruence sous la forme : nombre congru 0 modulo l'expression avec l'inconnue n.
Exemple :
   Résoudre n+9 congru 0 modulo n+1; n appartient à N.
Suivant la régle c'est équivaut  8 congru 0 modulo n+1 donc n+1 divise 8 .  i.e : n+1 appartient  au D₈ donc n appartient {0; 1;3;7 }.
Ma question d'où vient cette règle ?

J'ai essayé d'y répondre par les
propriétés de la congruence : ( n+9)-0=(n+1).k  avec k de N.
C'est-à-dire : $(n+9)-(n+1).k\equiv 0 [n+1]$ $\Leftrightarrow n+9\equiv n+1 [n+1]\Leftrightarrow 9-1\equiv 0\Leftrightarrow 8\equiv 0 [n+1]$ ,  d'après les propriétés de la congruence .
Merci par avance de me dire si de ces propriétés que vient la règle sus-mentionnée.

Posté par re : Congruence. 07-08-24 à 07:39

Bonjour,
Deux manières de voir:

1) Avec des congruences.
n+9 0 [n+1] 8 -(n+1) [n+1].
Or -(n+1) 0 [n+1].
Par transitivité de , on a donc
n+9 0 [n+1] 8 0 [n+1].

2)Avec des divisibilités.
a) Si n+9 congru 0 modulo n+1 alors n+9 = k(n+1) avec k dans .
D'où 8 = (k-1)(n+1) ; donc n+1 divise 8.
b) Réciproquement, si n+1 divise 8 alors 8 = (n+1)t avec t dans .
D'où 8 + n+1 = (n+1)(t+1) ; donc n+9 0 [n+1].

Posté par re : Congruence. 07-08-24 à 11:15

Bonjour.

Merci beaucoup professeure.

Posté par re : Congruence. 07-08-24 à 13:26

salut

et surtout déterminer les entiers n tels que n + 1 divise n + 9 (dividende et diviseur variables) est plus compliqué que déterminer les entiers n tels que n + 1 divise 8 car cette fois le dividende est connu ... ainsi que ses diviseurs !!