Bonjour à tous,
Je suis belge, et en dernière année, celle ci en Belgique s'appelle l'année de le rétho. A l'échéance de celle-ci j'aurai mon diplôme (bac).


Les examens approchent à grands pas, nous sommes en période de révisions.
J'éprouve une difficulté dans la résolution d'un exercice.
L'exercice est le suivant:

"Certaines comètes suivent une trajectoire hyperbolique dont le soleil occupe un foyer.
Si 12X²+24X-4Y²+9=0 est une équation de la trajectoire d'une comète, à quelle distance approximative du soleil (en UA) (unité astronomique, c'est à dire la distance moyenne entre la terre et le soleil 1UA=149,6 millions de Km) se trouve cette comète lorsqu'elle en est le plus proche?
Sugesstion: Montrer (d'une façon générale) que le sommet est de tous les points de la même branche d'hyperbole celui qui est le plus proche du foyer concerné".


A partir de l'équation donnée, il est aisé de trouver son équation réduite:
(X+1)²/(1/4)  -  Y²/(3/4)  =1

==> a²=1/4
==> b²=3/4
==> c²=1


Détermination du centre : Puisque le centre est situé sur l'axe des abscisses, à partir de l'équation de départ remplacer y par 0 et on va obtenir une équation du second degré en x dont les solutions doivent être symétriques par rapport à l'abscisse -1 du centre. On obtient :


Y=0 ==> 4(X+1)²-1=0
==>(X+1/2)(X+3/2)=0
==>X= -1/2 et X= -3/2

Asymptotes:
Y=+ou- racine de 3 fois (X+1)


La distance la plus courte est celle entre le foyer et le sommet à mon avis. Minimiser la distance au foyer est minimiser la distance à la directrice puisque ces deux distances sont proportionnelles. Pour cela il faut que la tangente soit parallèle à la directrice, enfin je crois.

Ca serait très gentil de m'aider pour la résolution de ce problème

                           d'avance merci

                                      Alexandre.