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Connaître le rayon d'un dodécagone

Posté par
Euline
16-12-17 à 14:14

Bonjour,

J'ai quitté l'école y'a quelques temps et j'aimerais avoir de l'aide sur un petit projet perso (c'est pour faire un plan pour une maquette en papier).

Je voudrais connaitre le rayon d'un dodécagone avec 2 côtés différents.
Un dodécagone régulier a 12 côtés de même longueur.
Pour connaitre son rayon, il suffit de faire :

rayon = \frac{C}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}
(C = longueur du côté)

Le problème, c'est que moi je veux un dodécagone "régulier" mais ayant 2 longueurs de côté différentes et j'aimerais savoir le rayon.

J'ai fait un schéma pour exposer mon problème
Connaître le rayon d\'un dodécagone

En fait, je voudrais garder C1 (=0.4cm), mais je voudrais que C2 soit égale à 0.5cm.
Quelle est la formule pour connaitre r (le rayon) dans ce cas-là ?
Je connais la formule quand tous les côtés sont identiques (celle que j'ai donnée), mais pas celle que je recherche.

Je coince depuis hier soir.

Merci

Posté par
fm_31
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:11

Bonjour ,

une formule me parait très difficile à établir .
Par contre , avec des logiciels comme  GeoGebra  , tu peux trouver la valeur de  r  très facilement

Connaître le rayon d\'un dodécagone

Posté par
alb12
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:24

salut,
peut etre une erreur sur l'angle ?

Posté par
Euline
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:33

fm_31 @ 16-12-2017 à 15:11

Bonjour ,

une formule me parait très difficile à établir .
Par contre , avec des logiciels comme  GeoGebra  , tu peux trouver la valeur de  r  très facilement

Connaître le rayon d\'un dodécagone

Ah oui, je n'avais pas pensé à GeoGebra. Je testerais ce soir.

Mais pourquoi as-tu mis un angle de 30 degrés ?
Car 30 degrés est l'angle pour un seul côté dans un dodécagone régulier.
Dans ta figure tu as mis 2 côtés et mon dodécagone n'est pas régulier (enfin je crois. Régulier c'est bien quand tous les côtés sont égaux, non ?).

Connaître le rayon d\'un dodécagone

Posté par
fm_31
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:35

Ben oui , il faut prendre un angle de 60 °
Merci  alb12  d'avoir relevé cette erreur .

Posté par
alb12
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:35

je dirais sans certitude que R est la solution de l'equation:


 \\ \arcsin\left(\dfrac{1}{4x}\right)+\arcsin\left(\dfrac{1}{5x}\right)=\dfrac{\pi}{6}
 \\

Avec Xcas pour firefox la reponse est

sous toute reserve

Posté par
Euline
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:35

En tout cas merci d'avoir pris le temps de me répondre

(dommage qu'on ne puisse pas éditer son message)

Posté par
fm_31
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:43

Et en zoomant , on obtient une résolution assez fine

Connaître le rayon d\'un dodécagone

Posté par
alb12
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:44

nous sommes d'accord

Posté par
Euline
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:46

Oups, nos messages se sont croisés (je n'avais pas vu les dernières réponses).

Je ne connaissais pas Xcas.

Je regarderais tout ça ce soir, là je n'ai pas le temps.

Mais êtes-vous sûr que c'est 60 degrés ? Car j'ai 2 côtés de longueurs différentes.
L'angle du côté de 0.4cm doit être plus petit que celui dont le côté est de 0.5cm, non ?

En tout cas merci

Posté par
fm_31
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:48

GeoGebra  confirme la formule donnée par   alb12

Posté par
alb12
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:51

essaie de trouver toi meme la demo

Posté par
fm_31
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 15:51

Oui , c'est bien 60 °

Connaître le rayon d\'un dodécagone

Posté par
mathafou Moderateur
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 16:21

bonjour,

construction à la règle et au compas du moment que les côtés sont donnés

Connaître le rayon d\'un dodécagone

tracer deux demi-droites (OI) et (OJ) à 30°, et deux points quelconques avec OI = OJ
construire K avec KI/KJ = 4/5 = AB/BC (ou le rapport des côtes choisi)
c'est à dire IK/IJ = 4/9 = AB/(AB+BC)
la droite (OK) est le lieu des points dont le rapport des distances à (OI) et (OJ) est 4/5
tracer une parallèle à (OI) à la distance 2.5 (la moitié de BC donné)
elle coupe (OK) en le point B
A et C sont les symétriques de B par rapport à (OI) et (OJ)

compléter le dodécagone

Posté par
Euline
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 16-12-17 à 21:59

Merci énormément pour votre aide !
La formule est bonne !

\arcsin\left(\dfrac{1}{4x}\right)+\arcsin\left(\dfrac{1}{5x}\right)=\dfrac{\pi}{6}


Dire que j'ai passé presqu'une journée à y réfléchir, à relire mes cours de trigo et que je n'ai pas réussi, et vous, en quelques minutes, vous trouvez la solution !

mathafou : Merci pour les explications.
Je fais mes plans avec Illustrator (logiciel de dessin vectoriel), que j'imprime pour faire mes diverses maquettes en papier. Tracer tout ça à la main me demanderait énormément de temps et ce ne sera pas très précis comparé à l'impression.

Merci encore !

Posté par
Euline
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 17-12-17 à 08:15

Salut,

J'ai créé mon dodécagone sur mon logiciel (Illustrator), grâce à votre formule pour le rayon.
Mais il me trouve un côté à 0.4001cm (et l'autre à 0.5 comme prévu).

Je précise qu'il ne prends en compte que 4 chiffres après la virgule.
Donc au-lieu de prendre le rayon à 0.869718438067 cm, il me prends 0.8697.
Est-ce à cause de l'arrondi qu'il me donne un côté à 0.4001 ?

Certes, pour mon plan, le 0.001 est insignifiant et totalement négligeable, mais quand même ^^

Y a-t-il moyen d'avoir 0.4 et 0.5 pile poil avec l'arrondi du rayon ?
Ou c'est totalement impossible ?

Posté par
fm_31
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 17-12-17 à 09:07

C'est bizarre , en prenant le même rayon  (0.8697) et 0.5  , GeoGebra me donne  0.399980795
Là l'erreur s'explique bien par l'approximation faite sur le rayon .

Connaître le rayon d\'un dodécagone

Posté par
Euline
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 17-12-17 à 09:36

Ah effectivement, bizarre.

J'ai réessayé plusieurs fois, il me donne parfois des résultats légèrement différents.
Des fois c'est 0.4001, une autre fois c'est bien 0.4 mais l'autre côté est à 0.4999 (au-lieu de 0.5)...

Je me demande si ce n'est pas moi qui construit mal la figure mais je ne pense pas :

Connaître le rayon d\'un dodécagone

Posté par
mathafou Moderateur
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 17-12-17 à 09:50

Des arrondis seront toujours des arrondis et des calculs approchés toujours des calculs approchés.
et si on enchaine des calculs (conversions en binaire interne, intersections de cercles etc) les erreurs d'arrondis se cumulent
et en gros si l'entrée est à 10-4 près, les calculs et donc les résultats seront au final avec une précision moins bonne que 10-4
et il est impossible de savoir de combien et dans quel sens vu qu'on ne sait pas quels calculs il fait en interne !

même 0.4 est une valeur approchée dans la machine puisque 0.4 décimal s'écrit en binaire 0.011001100110011... avec un nombre infini de chiffres binaires.

que donnerait ma construction géométrique (pour laquelle les seules approximations sont celles de la précision de calcul interne) ?
mais je ne connais pas les possibilités de Illustrator

ceci dit :

Citation :
Certes, pour mon plan, le 0.001 est insignifiant et totalement négligeable

et faut peut être pas se prendre la tête pour rien...

Posté par
fm_31
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 17-12-17 à 10:28

La construction que tu montres devrait donner  0.4  exactement puisque c'est le rayon que tu utilises . Je ne vois pas comment tu mesures autre chose .

Connaître le rayon d\'un dodécagone

Posté par
alb12
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 17-12-17 à 10:55

sur ce coup wolfram depasse Xcas

Posté par
mathafou Moderateur
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 17-12-17 à 11:15

ma construction est rigoureusement exacte (lire) à 10-15 près (la précision de Geogebra) et "mathématiquement" rigoureusement exacte tout court.
à partir des valeurs de 4 et 5 (ou de 0.4 et 0.5) elle donne le rayon du cercle circonscrit
je ne le définis pas à priori comme vous, ni par une valeur calculée, ni par une équation, il est le résultat de la construction même.
(oui, bien sur à l'intérieur il y a des calculs, mais pas du tout ceux de l'équation avec les arcs sinus : des intersections de droites et de cercles uniquement)

si je zoome sur mon point B il est exact "par construction"
(au zoom quasiment maxi de Geogebra)

Connaître le rayon d\'un dodécagone

aucun cercle "de rayon 0.8697 etc"
vu que ce cercle est défini à partir de B et pas à partir de son rayon, il passe forcément par B ...
B est défini par l'intersection de deux droites.
les cercles de rayon 4 et 5 sont ici définis par leur rayons et leurs centres
il passent bien par B
normal pour celui de rayon 5 puisque c'est par la parallèle à distance 2.5 que B est défini, mais celui de rayon 4, lui, est indépendant

Posté par
alb12
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 17-12-17 à 11:20

solve((1-1/(16*R^2))*(1-1/(25*R^2))=(sqrt(3)/2+1/(20*R^2))^2,R)

la solution positive est (sqrt(sqrt(3)*20+41))/10

Posté par
mathafou Moderateur
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 17-12-17 à 11:25

ce qui montre d'ailleurs la constructibilité à la règle et au compas de ce nombre, ici obtenu en valeur exacte et pas par une solution approchée d'équation avec des arcs sinus ...
(ceci dit les sommes d'arcs sinus ou d'inverses d'arc sinus se ramènent à cette équation si on trafique un peu les formules d'addition trigo)

Posté par
Euline
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 17-12-17 à 17:59

Re-salut,

En construisant en suivant les instructions de mathafou, j'obtiens effectivement le dodécagone avec des côtés de 0.4 et 0.5 pile poil !

C'est bizarre car les 2 dodécagones (celui construit à "ma" méthode et celui construit grâce à mathafou) ont le même rayon.

Merci beaucoup !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 18-12-17 à 10:19

Ceci dit ma méthode est inutilement compliquée :
je m'étais stupidement laissé entrainer par un problème semblable mais inversé : on connaissait le rayon et le rapport des côtés, leur mesure étant inconnue.

bien évidemment la construction simple et directe est :
on trace un angle de 30° et les parallèles à distances 2.5 et 2 qui se coupent en B, la suite idem.

Connaître le rayon d\'un dodécagone

quant aux bizarreries des arrondis de Illustrator, comme déja dit l'incertitude dépend de ses calculs internes et de la façon dont il les enchaine ...

Posté par
lake
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 18-12-17 à 12:48

Bonjour,

Citation :
on trace un angle de 30° et les parallèles à distances 2.5 et 2 qui se coupent en B

  
  qui donne r=2\sqrt{ab\sqrt{3}+a^2+b^2}a et b sont les demi côtés.


  

Posté par
lake
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 18-12-17 à 12:51

... ou r=\sqrt{ab\sqrt{3}+a^2+b^2} avec les côtés

Posté par
mathafou Moderateur
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 18-12-17 à 13:11

si a=b=c on retrouve la formule du tout premier message moyennant une petite astuce :

R = \dfrac{c}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} = \dfrac{c\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}\;\times\;\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \dfrac{c\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}} = \dfrac{c\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{4-3}}  = c\sqrt{2+\sqrt{3}}

Posté par
lake
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 18-12-17 à 13:17

Heureusement!

  Bon, j'ai joué à l'inspecteur des travaux finis!

Posté par
lake
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 18-12-17 à 15:11

D'où un exercice (tout pourri ?):

  Montrer que pour tout a,b réels positifs:

    \arcsin\,\dfrac{a}{2\sqrt{ab\sqrt{3}+a^2+b^2}}+\arcsin\,\dfrac{b}{2\sqrt{ab\sqrt{3}+a^2+b^2}}=\dfrac{\pi}{6}

Posté par
Pirho
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 19-12-17 à 14:35

Bonjour,

sans les vérifications d'usage

\arcsin\,\dfrac{a}{2\sqrt{ab\sqrt{3}+a^2+b^2}}+\arcsin\,\dfrac{b}{2\sqrt{ab\sqrt{3}+a^2+b^2}}=\dfrac{\pi}{6}

sin(arcsin(x)+arcsin(y))=x cos(arcsin(y))+y cos(arcsin(x))=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}

sin( \arcsin\,\dfrac{a}{2\sqrt{ab\sqrt{3}+a^2+b^2}}+\arcsin\,\dfrac{b}{2\sqrt{ab\sqrt{3}+a^2+b^2}})=sin(\dfrac{\pi}{6})

\dfrac{a}{2\sqrt{ab\sqrt{3}+a^2+b^2}}\sqrt{1-\dfrac{b^2}{4(ab\sqrt{3}+a^2+b^2)}}+\dfrac{b}{2\sqrt{ab\sqrt{3}+a^2+b^2}}\sqrt{1-\dfrac{a^2}{4(ab\sqrt{3}+a^2+b^2)}}=\dfrac{1}{2}

\dfrac{a(2a+b\sqrt{3})}{4(ab\sqrt{3}+a^2+b^2)}+\dfrac{b(2b+a\sqrt{3})}{4({ab\sqrt{3}+a^2+b^2})}=\dfrac{1}{2}

\dfrac{2(ab\sqrt{3}+a^2+b^2)}{4(ab\sqrt{3}+a^2+b^2)}=\dfrac{1}{2}

Posté par
lake
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 20-12-17 à 13:39

Bonjour,

Citation :
sans les vérifications d'usage


Avec a\geq 0 et b\geq 0, les arguments des arcsin sont compris entre 0 et \dfrac{1}{2} en sorte que les arcsin sont compris entre 0 et \dfrac{\pi}{6} et leur somme entre 0 et \dfrac{\pi}{3}

On a tous les droits

Posté par
Euline
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 20-12-17 à 23:25

Je vois que vous vous amusez bien en donnant des exercices

lake, tu peux m'expliquer ta formule ? Comment t'as réussi à la trouver ? Apparemment tu t'es basé sur l'explication de traçage du dodécagone puisque tu en as cité un bout.

r = \sqrt{ab\sqrt{3}+a²+b²}

En effet, je pose la question car j'ai d'autres problèmes identiques mais non pas avec un dodécagone (12 côtés), mais avec des figures de 6, 8, 10, 14 et 16 côtés (désolé, je ne connais pas par cœur le nom de toutes ces figures).
Toujours avec a = 0.4 et b = 0.5 et je cherche le rayon de ces figures.

Si tu peux m'expliquer quand tu l'as trouvé simplement (je suis loin d'avoir votre niveau en maths), comme ça j'essaierai de trouver les formules moi-même sans vous déranger.

Posté par
Euline
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 20-12-17 à 23:30

Oups, petite erreur dans mon poste précédent (dernière phrase) :

Si tu peux m'expliquer COMMENT tu l'as trouvé simplement (je suis loin d'avoir votre niveau en maths), comme ça j'essaierai de trouver les formules moi-même sans vous déranger.

C'est vraiment dommage qu'on ne puisse pas éditer ses messages, ne serait-ce que pour corriger des fautes.

Posté par
lake
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 21-12-17 à 11:23

Bonjour Euline,

   Je n'ai fait que tirer les marrons du feu: tout avait été dit par les différents intervenants.

  Connaître le rayon d\'un dodécagone

  On a donc \alpha+\beta =\dfrac{\pi}{6}

   \sin\,\alpha=\dfrac{a}{2r}\qquad \sin\,\beta=\dfrac{b}{2r}

 \cos\,\alpha=\sqrt{1-\dfrac{a^2}{4r^2}}\qquad \cos\,\beta=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{4r^2}}

  \cos\,(\alpha+\beta)=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\,\alpha\,\cos\,\beta-\sin\,\alpha\,\sin\,\beta

  d'où l'équation:

  \sqrt{\left(1-\dfrac{a^2}{4r^2}\right)\left(1-\dfrac{b^2}{4r^2}\right)}-\dfrac{ab}{4r^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\left(1-\dfrac{a^2}{4r^2}\right)\left(1-\dfrac{b^2}{4r^2}\right)=\left(\dfrac{ab}{4r^2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2

1-\dfrac{a^2}{4r^2}-\dfrac{b^2}{4r^2}+\cancel{\dfrac{a^2b^2}{16r^4}}=\cancel{\dfrac{a^2b^2}{16r^4}}+\dfrac{ab\sqrt{3}}{4r^2}+\dfrac{3}{4}

\dfrac{a^2+b^2+ab\sqrt{3}}{4r^2}=\dfrac{1}{4}

r^2=a^2+b^2+ab\sqrt{3}

r=\sqrt{a^2+b^2+ab\sqrt{3}}



  

  

Posté par
lake
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 21-12-17 à 11:55

Pour tout dire, dès le début de ton topic, j' avais commencé ce genre de calcul mais j'avais eu la très mauvaise idée de partir avec \sin\,(\alpha+\beta)=\dfrac{1}{2}

Les calculs ne se passaient pas très bien; j'avais abandonné...

Posté par
lake
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 21-12-17 à 14:29

Avec les mêmes méthodes, tu peux obtenir une formule analogue fonction des mesures des côtés a et b et du nombre total de côtés n:

   r=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+2ab\,\cos\,\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}}{2\,\sin\,\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}

Posté par
mathafou Moderateur
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 21-12-17 à 15:16

remarquer que ma construction (la dernière avec juste les deux parallèles) fonctionne quel que soit le nombre pair 2m de côtés
en partant d'un angle pi/m au lieu de pi/6, pour 2m = 12)

Posté par
Euline
re : Connaître le rayon d'un dodécagone 21-12-17 à 23:39

Encore une fois, merci beaucoup pour vos réponses !

Très bien expliqué !

Vous êtes vraiment doués.

Merci encore !

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