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Construction d'un triangle (I) ha

Posté par
mathafou Moderateur
07-06-24 à 10:12

Bonjour,

on veut construire (géométriquement) un triangle ABC étant donné son cercle inscrit (I) , la mesure ha de sa hauteur issue de A et que son orthocentre se trouve sur le cercle inscrit. (mais on ne sait pas où)

Construction d\'un triangle (I) ha

on n'est pas obligé de blanquer
j'en ai une que je trouve bien compliquée ...

Posté par
dpi
re : Construction d'un triangle (I) ha 07-06-24 à 15:04

Bonjour,
Il faut penser au triangle orthique et voir son lien avec le cercle inscrit .
Curieux que ce problème n'ait pas été posé par Nagel ,Euler ou Gergonne par exemple..

Construction d\'un triangle (I) ha

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 07-06-24 à 16:55

ce problème a sans doute été posé quelque part ...
il est un produit dérivé d'une question d'olympiade de 1994-1995
qui demandait pour quelles sortes de triangles l'orthocentre est sur le cercle inscrit.

d'où le "produit dérivé" consistant à en construire un "non particulier" (non isocèle) ...
comme il y en a des infinités, il faut ajouter une contrainte limitante : la mesure de la hauteur par exemple.
tout simplement parce que le lieu de A avec ha = cte est la droite parallèle à (bc) à distance ha donc un truc "simple" (hum) à partir des données fixées
Construction d\'un triangle (I) ha
cela donne de 0 à 4 solutions selon la valeur de ha.

une autre façon de faire aurait été de fixer H sur le cercle donné (et alors ha inconnue), mais j'ai trouvé ça encore plus compliqué.

Quant aux relations entre le triangle orthique et le cercle inscrit de ABC ... ??
ce qui est "élémentaire" est que l'orthocentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique, certes. mais je ne vois pas trop ce qu'on peut en faire
mais sait on jamais... comme j'ai dit, ma solution me semble bien compliquée et j'espère donc une plus simple

Posté par
verdurin
re : Construction d'un triangle (I) ha 07-06-24 à 18:53

Bonsoir,
je ne vois pas vraiment comment faire mais fixer H n'a aucune importance. Une solution est « donnée » modulo une rotation de centre I.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 07-06-24 à 19:22

??
"fixer H" est un autre problème
et il n'y a pas plus de solution "donnée" à cet autre problème qu'au problème initial

problème 1 (cette discussion)
on donne (et rien d'autre) :
Construction d\'un triangle (I) ha
construire ABC pour que son orthocentre soit sur le cercle et que ce cercle soit son cercle inscrit

problème 2 (différent)
on donne (et rien d'autre) :
Construction d\'un triangle (I) ha
construire ABC pour que ce cercle soit soit son cercle inscrit et H son orthocentre.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 07-06-24 à 19:55

"modulo une rotation de centre I."
c'est pour ça que dans ces "données" on fixe la droite (bc) support du côté BC dans le problème 1

et pour le problème 2, il faut bien ajouter une contrainte sinon une infinité de solutions différentes. donc idem.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 08-06-24 à 10:40

cet "exo" ne semble pas passionner les foules

Citation :
je ne vois pas vraiment comment faire


on peut le faire par le calcul "sauvage" mais c'est assez pénible, même si c'est "élémentaire"
on devrait arriver à une équation bicarrée, donc dont les solutions sont constructibles.

pour ma part j'ai cherché le lieu géométrique de l'orthocentre H quand A varie sur la droite à distance ha de (bc)
les solutions sont obtenues par les intersections de ce lieu avec le cercle.
Construction d\'un triangle (I) ha
ça m' a donné en passant (généralisant) une jolie propriété de géométrie sur les tangentes à une conique et les lieux des points remarquables (O, G, H) des triangles formés par ces tangentes.

Si on revient à l'origine du problème (construire des triangles dont l'orthocentre est sur le cercle circonscrit point) on peut choisir d'autres contraintes additionnelles, autres que la mesure de ha et sa direction, le cercle inscrit fixé.

comme je le proposais, la direction de (bc) et le point H sur le cercle fixé est une de ces variantes (à la place de ha)
mais les lieux géométriques impliqués sont bien moins sympathiques ...
on peut ouvrir le problème à de telles variantes.

Posté par
carpediem
re : Construction d'un triangle (I) ha 08-06-24 à 11:08

salut

mathafou @ 08-06-2024 à 10:40

cet "exo" ne semble pas passionner les foules

ça me "passionne" malheureusement au lycée (comme au collège dans une (à peine) moindre mesure) nous ne pratiquons quasiment que de la géométrie repérée (analytique) ... donc du calcul bourrin ...

sans être un "as" je me débrouillais un peu mais maintenant je suis une bille, donc je suis mais ne viens pas polluer tes intéressants sujets de géométrie mais je les suis régulièrement !!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 08-06-24 à 11:27

en fréquentant d'autres forum, cette tendance est assez générale,
que ce soit dans un repère cartésien ou autre.
ceux qui font encore de la géométrie "déductive" sont rares.
on les prend un peu pour des dinosaures, en voie d'extinction

il faut tout de même être bien conscient que la géométrie moderne du triangle (les dizaines de milliers de points décrits dans l'encyclopédie ETC et propriétés associées) est en majorité obtenue par calcul pur.

et du coup ça devient essentiellement de l'utilisation de logiciels de calcul formel. vu que personne n'aime faire des calculs rébarbatifs.
ce qui ôte tout intérêt "esthétique" ou "intellectuel' à la chose

Posté par
dpi
re : Construction d'un triangle (I) ha 08-06-24 à 11:59

On sait depuis longtemps que pour construire un triangle il faut 3 données donc ici il faut en trouver une de plus ce qui revient à trouver H sur le cercle donc  ton lieu géométrique me semble une
solution .
Comme dab je cherche avec des données....

Posté par
carpediem
re : Construction d'un triangle (I) ha 08-06-24 à 12:50

pour répondre diversement à mathafou et dpi : bien sûr car les points sont "de plus en plus compliqués".

mis à part les premiers points de cette fabuleuse encyclopédie et qui répondent à des pb de base classique d'ailleurs souvent tirés physique, je ne crois pas que beaucoup utilisent le point 5001 !!

pour une géométrie plus analytique peut-être partir de cette base suivante :

le cercle inscrit est le cercle trigonométrique et un côté est porté par la droite d'équation y = -1.

et qui a pour avantage éventuel :
a/ de travailler peut-être avec les complexes
b) de fixer à -1 l'ordonnée de deux des sommets

car :
i) toute solution peut ensuite en produire d'autres par homothétie de centre le centre du cercle circonscrit
ii/ cela impose probablement des conditions sur les hauteurs (elles sont bornées)
iii) en se donnant B (donc un paramètre qui est son abscisse) et H sur le cercle trigo/inscrit on en déduit l'équation de la droite (BH) et donc de ses perpendiculaires (droites portant (AC)) et on peut déterminer laquelle est tangente au cercle inscrit et de là on peut en déduire A et C

voili voica pour ma modeste contribution

Posté par
dpi
re : Construction d'un triangle (I) ha 08-06-24 à 15:48

En attendant la pure réponse géométrique ....
j'ai une "presque"* réponse avec les données suivantes

ha  (10)
B(0;0)
A(1;10)
C(0;25)
cercle de rayon 4-->I (4.6;4)
*si quelqu'un peu valider....

Posté par
dpi
re : Construction d'un triangle (I) ha 08-06-24 à 15:48

C(25;0)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 08-06-24 à 19:46

si en plus on cherche des données entières ...

à dpi
en tout cas avec ces données (A, B, C) le rayon du cercle inscrit est de 4.095...
(on peut en calculer la valeur exacte avec S = pr, mais l'expression n'en semble pas particulièrement simple avec toutes ces racines carrées...) et en plus l'orthocentre n'est pas exactement sur le cercle

Construction d\'un triangle (I) ha

si on veut trouver une solution particulière "facile à calculer" à partir de données choisies "exprès pour", on peut chercher (ha pas imposé du tout mais à priori inconnue) le cas d'un triangle isocèle (les calculs ne sont pas trop durs dans ce cas vu que A et I ont même abscisse)

mais ce qui est demandé c'est à partir de rayon = 1 comme unité de mesure, et ha fixé à une valeur quelconque arbitraire à priori
et ensuite on déduit de ces valeurs les (seules et uniques) 2, 3 ou 4 solutions (les 2, 3 ou 4 positions de A,B,C par rapport à I) qui donnent comme conséquence exceptionnelle l'orthocentre sur le cercle. (exactement), pour cette valeur de ha là.

à carpediem
choisir comme cercle inscrit le cercle "trigo" (centré en l'origine et de rayon1) est un "réflexe" assez classique
alors A a pour coordonnées (a, ha-1) (a est l'inconnue) les ordonnées de B et C = -1 etc

ici on peut choisir aussi le cercle de rayon 1 et de centre (0, 1) vu que alors les ordonnées de B et C sont nulles et A (a, ha)
les tangentes AB et AC sont les droites à distance 1 de (0, 1) passant par A (a, ha) a inconnue
l'orthocentre a pour abscisse a (la même que A !) et son ordonnée s'obtient par un produit scalaire.

on écrit alors que la distance HI = 1 (que H satisfait à l'équation x² + (y-1)² = 1) ce qui donne une équation en l'inconnue a
ensuite y a plus qu'à la résoudre "géométriquement"
je rappelle que "on connait" une méthode géométrique pour construire les solutions d'une équation X^2 - s X \pm p =0 et que une unité étant donnée on sait construire \sqrt{X}
donc c'est gagné une fois qu'on a l'équation et que celle-ci est résoluble "par racines carrées".

Posté par
dpi
re : Construction d'un triangle (I) ha 09-06-24 à 07:35

J'avais bien écrit "presque"
Si il fait mauvais je tenterai un peu mieux...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 09-06-24 à 19:36

on peut très certainement obtenir un exemple numérique qui tienne la route même "à peu près", par exemple en ajustant à la main avec Geogebra ou un autre logiciel du même genre.

rappel : calcul du centre du cercle inscrit et dans le cas présent du rayon.
on montre facilement que, en appelant a, b, c les côté opposés à A, B, C, I est le barycentre de (A,a),(B,b),(C,c)

avec les coordonnées de A(1, 10) B (0, 0) C (25, 0)

AB = \sqrt{101}, BC = 25 et AC = 26 (exactes)
et donc le rayon est ici directement l'ordonnée de I c'est à dire

\dfrac{10*25 + 0*26+ 0\sqrt{101}}{25+26+\sqrt{101} }\approx 4.0950124378879...
il est un peu plus compliqué de calculer les coordonnées de H mais cela peut se faire directement comme barycentre de

A, 1/(b² + c² - a²)) (B, 1/(c² + a² - b²)) (C, 1/(a² + b² - c²) )

ces coordonnées barycentriques des points remarquables d'un triangle sont prises dans l'ETC (Encyclopedia of Triangle Centers)


on peut alors calculer la valeur exacte de IH

Posté par
dpi
re : Construction d'un triangle (I) ha 10-06-24 à 18:04

En donnant h=10 et r=4 et A(1;10) BC n'est pas entier,je l'avais estimé  à 25 ...en calculant 22.5197
Mai pas sûr que H soit sur le cercle.
J'ai demandé à CHAT quelles étaient les CNS pour que l'othocentre d'un triangle soit sur son cercle inscrit....réponse n'importe quoi !.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 10-06-24 à 22:24

fixer h (r et la droite (BC) étant fixées) impose A et H
on ne peut pas choisir A arbitrairement sous peine d'avoir H ailleurs que sur le cercle.
avec la valeur de h = 10 pour r = 4 "il se trouve" qu'il y a exactement 3 solutions et donc l'une d'elle est "spéciale" (à cause de la symétrie) on pourrait presque la qualifier de "triviale"
j'avais suggéré :

Citation :
si on veut trouver une solution particulière "facile à calculer" à partir de données choisies "exprès pour", on peut chercher (ha pas imposé du tout mais à priori inconnue) le cas d'un triangle isocèle (les calculs ne sont pas trop durs dans ce cas vu que A et I ont même abscisse)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 11-06-24 à 00:03

j'ai enfin réussi à trouver une construction simple pour la variante :
étant donné le cercle et la droite (BC) ainsi que le point H sur le cercle, trouver ABC
dans cette variante ha est totalement inconnue
A est fatalement sur (KH), perpendiculaire à (BC) par H

Construction d\'un triangle (I) ha

un point A1 variable sur la droite KH, donne un orthocentre H1
on a (le prouver* !!!) (KA1 - d)KH1 = constante, où d (= 2) est le diamètre du cercle
cette constante dépend de la position de la droite (KH)

on peut donc trouver A pour que (KA - d)KH = (KA1 - d)KH1
sans avoir besoin de calculer la constante d'ailleurs
Thalès y suffit...
on descend A1 en A'1 A1A'1 = d, KA'1 = KA1 - d
on reporte KH et KH1 sur une droite quelconque passant par K (ici la droite BC)
on applique Thalès pour obtenir A', et on le remonte en A par A'A= d

(* la preuve en est la même que pour le problème posé avec ha donné et H inconnu : A et H se correspondent par une homographie, il suffit donc de prouver et caractériser cette homographie pour résoudre le problème)

Posté par
dpi
re : Construction d'un triangle (I) ha 11-06-24 à 07:22

>mathafou
Ce problème aurait mérité plus de participants .
Dans un premier temps on pense H  "en bas" et on bricole en conséquence...
Bravo pour la solution géométrique.

De mon coté  je tentais de trouver H en utilisant le fait que les hauteurs ont entre elles un coefficient directeur tel que a2 =-1/a1
en faisant varier a1  (pente de BA )

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 11-06-24 à 11:00

Citation :
on pense H "en bas"
dans le problème de départ on ne sait pas (du tout) où est H !

Comme j'ai signalé il y a plusieurs variantes (très différentes) au problème
l'une d'elles est ainsi résolue (on connait H mais tout le reste est inconnu, en particulier ha)

mais ce n'est pas celle que j'ai proposé au départ
(dont la solution est très différente !) on connait ha et tout le reste (y compris H) est inconnu

pour les calculs on peut déja se placer dans un repère et il faut en choisir un qui donne les calculs les plus simples
l'axe des ordonnées est trivialement la droite (XI)
l'origine est choisie parmi les points déjà connus et fixes
X, I, ou le point opposé à X sur le cercle
Construction d\'un triangle (I) ha
plutôt que de trainer un "r" rayon du cercle dans les calculs on peut fixer r = 1, ça ne change rien (choix de l'unité)
c'est ha qui est donné (et pas inconnu) les inconnues sont A, B, C ou H
trouver l'un de ces points donne immédiatement les autres.
dans le repère choisi, l'abscisse de A, B ou C sera donc l'inconnue.
H serait plus compliqué et de toute façon son abscisse serait la même que celle de A
à partir de A (a, ha) dans le repère d'origine X , a est la seule inconnue (A est fatalement sur la droite en pointillé)
on calcule tout le reste en fonction de a pour obtenir les coordonnées (a, y(a)) de H
enfin on obtient l'équation en a : a^2 +(y(a)-1)^2 =1
le détail des calculs intermédiaires est au choix : équations de droites, calculs vectoriels, etc
tous sont du niveau lycée. même si c'est un peu pénible...
où si des connaissances "supérieures" peuvent éventuellement les simplifier. par exemple l'usage d'affixes, de coordonnées barycentriques etc

Posté par
verdurin
re : Construction d'un triangle (I) ha 12-06-24 à 21:11

Bonsoir,
je trouve ce fil très intéressant, mais je n'arrive pas vraiment à des résultats qui le soient.

Je donne quand même ce que j'ai trouvé.
Il y a un triangle isocèle qui convient : sa base est 2\sqrt5 et ses deux autres côtés \frac32\sqrt5, la hauteur relative à la base est 5/2. On peut remarquer que le triangle à côtés entiers 4 ; 3 ; 3 à son orthocentre sur son cercle inscrit.

Pour le problème de départ on a donc quatre solutions si 2<h_a<\frac52 et deux solutions si  h_a>\frac52.
Les solutions sont évidement symétriques par rapport à l'axe des y de la figure qu'a donnée mathafou juste au dessus.

Et merci à lui.

Posté par
dpi
re : Construction d'un triangle (I) ha 13-06-24 à 07:55

Bonjour ,

J'ai vérifié les exemples de verdurin
la multiplicité des cas de figures ainsi que le fait de trouver des triangles isocèles semble dire qu'on échappe à une loi générale.
La construction géométrique doit donc aussi être adaptée.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 13-06-24 à 09:02

oui pour le triangle isocèle et pour les bornes

avec les données du problème, on a bien un triangle isocèle en A pour r = 1 et ha = 5/2
... et deux autres solutions pour cette valeur de ha symétriques bien sur
(ce qui correspond au choix de dpi ha = 10 et r = 4 ...mais il cherchait ces autres solutions)

j'ai proposé un plan pour le calcul général.
si on ne fait pas d'erreurs de calculs (le nombre de pages avec des erreurs que j'ai noircies est impressionnant !) et si on s'y prend bien, ces calculs sont simples (du niveau lycée) et conduisent rapidement à la solution "calculatoire".
Et dans la foulée à la construction de H, annoncée :

08-06-24 à 19:46

une méthode géométrique pour construire les solutions d'une équation X^2 - s X \pm p =0

qui s'avère finalement bien plus simple que par des considérations purement géométriques.
Je suis donc tout à fait étonné que personne ne s'y soit mis .

Posté par
LittleFox
re : Construction d'un triangle (I) ha 13-06-24 à 11:00

Désolé, je n'ai eu beaucoup de temps dernièrement

J'espère ne pas redire ce qui a été dit

On place un cercle en (0;1) de rayon 1.
Le point A est donné par (x; h) où h est un paramètre.
Les points B et C sont donnés par l'intersection des tangeantes au cercle passant par A et l'axe x.

Le point H est l'orthocentre du triangle ABC.

Sans démonstration, je trouve que H est donné par (x; (1-x²)/(h-2)).
Le lieu de H est une parabole passant par (-1;0), (0;1/(h-2)) et (1;0).
Si on veut que H soit sur le cercle, il suffit de trouver l'intersection de cette parabole et du cercle.

On a x²+(\frac{1-x²}{h-2}-1)²=1.

C'est simplement une equation du second degré en x² mais les solutions ne sont pas jolies

On a x = \pm \sqrt{ \frac{2u²-2u-1 \pm \sqrt{4u+1}}{2u²}}. Avec u=\frac{1}{2-h}.

Il doit y avoir moyen de dessiner l'intersection de la parabole et du cercle géométriquement mais je n'ai pas la maitrise géométrique pour

Posté par
LittleFox
re : Construction d'un triangle (I) ha 13-06-24 à 11:43

Oh, il y a mieux

La parabole peut s'écrire x²+y(h-2)=1.
L'intersection avec le cercle donne y²-yh+1=0

On a donc y=\frac{h\pm\sqrt{h²-4}}{2} et x=\pm\sqrt{1-y(h-2)}

On peut remarquer aussi que deux solutions disparaissent quand h>5/2.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 13-06-24 à 13:22

tout à fait

la simplicité de l'équation en y est remarquable
pour la construction géométrique, la résolution à la règle et au compas d'une équation du second degré  y^2 - sy +ab = 0 où s est la somme des racines et p = ab leur produit est "connue" :

Construction d\'un triangle (I) ha
les médiatrices de OS et de AB se coupent en W
le cercle de centre W par A (et B) coupe (OS) en M et N avec OM et ON les solutions, de l'équation.
en effet :

OM.ON = OA.OB = p (puissance de O)
OM+ON = OS = s

ici p = 1 on trace la perpendiculaire en OP = 1 en choisissant la droite "quelconque" comme étant l'axe des abscisses :

Construction d\'un triangle (I) ha

on reporte ces solutions en H sur le cercle puis en A sur la droite etc.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 13-06-24 à 14:16

mes calculs intermédiaires :
(blank pour gagner de la place)

 Cliquez pour afficher

Posté par
verdurin
re : Construction d'un triangle (I) ha 13-06-24 à 22:01

Boris Vian

A mesure que je deviens vieux
Je m'en aperçois mieux
J'ai le cerveau qui flanche
Soyons sérieux disons le mot
C'est même plus un cerveau
C'est comme de la sauce blanche

Posté par
dpi
re : Construction d'un triangle (I) ha 14-06-24 à 07:56

J'aime bien la ténacité de mathafou et les fulgurances de littlefox.
Les deux réunis c'est un festival

Posté par
mathafou Moderateur
re : Construction d'un triangle (I) ha 14-06-24 à 09:56

Cette ténacité m'a permis de réussir enfin à terminer mes calculs sans erreurs le 13-06

mathafou 13-06-24 à 09:02

le nombre de pages avec des erreurs que j'ai noircies est impressionnant !

des a mal écrits transformés en x et vice versa, des signes qui se transforment tout seul et autres erreurs "de débutant" en pagaille.

et donc résoudre la question initiale :
Citation :
j'en ai une que je trouve bien compliquée ...

c'est à dire de trouver cette construction simple à la place.

avant ça ma construction était basée sur la propriété, conjecturée, que le lieu de H était une parabole et se terminait donc par la caractérisation géométrique de cette parabole, suivie de la construction géométrique des intersections d'une parabole et d'un cercle centré sur son axe
(un cas constructible d'intersections de coniques, le cas général est non constructible car donnant une équation générale de degré 4)

en cherchant vainement une preuve non calculatoire de cette conjecture, je suis tombé sur une généralisation intéressante :

étant données une conique \Gamma, une tangente (t) et une droite (d) quelconques
soit A un point variable de (d), les tangentes issues de A à \Gamma coupent (t) en B et C
le lieu de l'orthocentre de ABC quand A parcourt (d) est une conique, ou un morceau si on ne garde que les points réels.
(respectivement le lieu du centre de gravité / du centre du cercle circonscrit et quelques autres, mais pas tous)
Pour l'orthocentre les directions asymptotiques de cette conique sont orthogonales à (t) et à (d).
de sorte que si (t) et (d) sont parallèles, il s'agit d'une parabole.

Construction d\'un triangle (I) ha

il y a donc encore un peu de chair savoureuse à ronger sur cet os :

même question si on veut que le centre de gravité G soit sur le cercle inscrit
ou si on veut que le centre du cercle circonscrit O soit sur le cercle inscrit

là j'ai des solutions sympa purement géométriques (sans coordonnées ni repère)
indices :
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