salut

3 exos sur la récurrence:

1:  5ⁿ⁺²4ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²

2: P(n):"3 divise 4ⁿ+1

3: P(n):"9 divise 10ⁿ+1

en particulier les deux derniers sont intéressants car la récurrence est vraie mais la propriété est fausse

à donner après des exercices "qui marchent" pour montrer l'importance des hypothèses et la notion de vérité d'une propriété et d'une implication (implication vraie bien que le prédicat et la conclusion sont fausse)

Bonjour,

Une récurrence:

1) Montrer que si est premier, alors pour tout entier vérifiant , divise

2) On se propose de démontrer que si est premier, alors est divisible par pour tout entier naturel

a) Etablir le résultat pour

b) Montrer par récurrence que si est premier impair, est divisible par pour tout entier naturel

On peut "durcir" l' énoncé en demandant séchement de prouver le petit théorème de Fermat par récurrence...

Bonjour Cailloux.
Ton exemple ne peut pas se résoudre par la méthode de la concurrence.
Il n'y a en effet pas de formule permettant de passer d'un nombre premier au suivant.

PM > récurrence sur n

bonsoir à tous !

Bonjour plumemeteore,

Eh oui: récurrence sur , pas sur

La concurrence vraîment ?

Bonjour,

On peut montrer par récurrence que n entiers quelconques sont toujours de même parité.

Pour n = 1, c'est évident : un entier est de même parité que lui-même.

Supposons la propriété vraie au rang n et considérons les n + 1 entiers p₁, p₂,..., p_n, p_n+1.
D'après l'hypothèse de récurrence, les n entiers p₁, p₂, ..., p_n sont de même parité.
Toujours d'après l'hypothèse de récurrence, il en est de même pour les n entiers p₂,..., p_n, p_n+1
Donc les n + 1 entiers p₁, p₂,..., p_n, p_n+1 sont tous de même parité.
La propriété est donc vraie au rang n + 1 et elle est donc démontrée pour tout n par récurrence.

Etonnant, non

... et que 3 points sont toujours alignés...

Bonsoir
ou que n crayons sont toujours de la même couleur ....

Re-bonjour à tous,

L'exercice de Frenicle m'intéresse mais je ne suis pas sûr de le comprendre...
on prend n entiers quelconques, et alors ils sont tous de même parité??

par exemple je prend 3 entiers 1,2,3 ils sont de parités différentes...
je crois que j'ai rien compris en fait!

Une petite explication serait la bienvenue!

Salut

Citation :
Vous voulez dire qu'on peut utiliser la puissance du raisonnement par récurrence pour montrer des propriétés fausses...

c'est bien pour ça que chaque fois que j'explique le principe de récurrence, je donne l'exemple des crayons de couleurs (qui est formellement le même que celui des entiers de même parité) : cherche où ça déraille, tu verras à quoi on doit faire attention quand on fait une preuve par récurrence ....

Bonsoir robby3.
D'une hypothèse fausse on peut conclure n'importe quoi !

.... cr faux implique faux est vrai...

robby, tu donnes ta langue au chat ?

dans la "preuve" de frenicle, il y a une donnée implicite : le passage de n à n+1 n'est valable que si n vaut au moins 2 : pour dire que tous les entiers ont la même parité, on a besoin que l'ensemble p₂,...,p_n contienne au moins un nombre, donc que n soit au moins égal à 2.

du coup, l'initialisation aurait dû être faite avec n = 2, pour que la récurrence marche.

Dans des exemples plus calculatoires, ça peut être le cas par exemple quand le passage de n à n+1 passe par une division par (n-1) par exemple : ce passage ne sera donc fait que pour n > 1, et l'initialisation devra être faite avec n= 2, quitte à vérifier ensuite "à la main" que la propriété est aussi vraie pour n = 1 et n = 0....

oui,désolé,j'étais occupé à tout autre chose,j'avais complètement oublié!
Ok, ça marche.

dans le cadre du topic, comment montre-t-on correctement que:



si vous avez le temps d'y réfléchir, je veux bien voir tout ça.

Merci déjà pour vos réponses!

Bonsoir
tes données, c'est u et v, c'est ça ? et tu sais qu'on peut trouver x et y tels que xu - yv = 1, et tu te demandes si on peut encore trouver x et y (plus les mêmes, forcément) tels que xu + yv = n pour tout n à partir d'un certain rang ?

oui,c'est bien ça.
L'idée m'a été soufflé par quelqu'un après m'avoir proposé de montrer que pour tout entier, il existe deux entiers naturels et   tel que et montrer que c'est faux pour .
La solution de cet exercice m'est désormais connu,mais je but sur celui que je vous soumet...

Bonjour à tous,

Pour parler de la contraposée, petite anecdote amusante (quoique assez connue quand même !)

Supposons qu'on veuille montrer, de façon empirique, que tous les corbeaux sont noirs (c'est à dire "être corbeau" "être noir")

Pour ce faire on estime qu'à chaque fois qu'on voit un corbeau et qu'on vérifie qu'il est bien noir, on peut mettre une "coche"... le nombre de pointage augmentant progressivement la probabilité que la phrase soit vraie... (of course, si on voit un corbeau vert, la probabilité chute d'un seul coup à 0)

Là ou cela devient cocasse, c'est si on considère la contraposée de cette implication, donc équivalente, qui est : "non noir""non corbeau"

Ce qui signifie qu'à chaque fois que vous voyez un objet non noir et que vous vérifiez que ce n'est pas une corbeau, vous pouvez aussi mettre une coche et ainsi augmenter la probabilité que tous les corbeaux soient effectivement bien noirs !



MM

Bonsoir MatheuxMatou,
On peut aussi se demander quel est le sens de

Bonjour à tous,
le topic m'interpelle.
En effet Robby3 demande des exos jusqu au niveau prépa, je suppose qu'il s'agit d'exercice pour l'épreuve sur dossier.
N'est-il pas conseillé de s'arrêter au niveau terminale dans ce cas là?
Quels sont vos avis?
Merci et bonne soirée.

Oui c'est vrai que ca donne du grain à moudre en terme de résolution. Mais en terme d'analyse ca dépend.
Et c'est surtout au niveau de comment on le place dans la progression des programmes qui est est difficile à justifier après.
On peut dire qu'on est ambitieux pour nos élèves. ^^
Merci d'avoir pris le temps de me répondre.

je ne dirais pas que l'exercice vient d'un niveau "limite"...je dirais que l'exo vient de moi(lectures ou autre...^^)
Bref,c'est une méthode que j'utiliserais.
Bonne chance pour le 10.