Niveau exercices

convergence en moyenne sans convergence simple

Posté par
luzak 07-01-19 à 23:12

Bonsoir !
Un sujet récent concernant $C^0([0,1],\R),\lVert.\rVert_1$ non complet m'incite à demander un exemple d'une suite $(f_n)_{n\in\N}$ convergente de fonctions de cet espace telle que les suites $n\mapsto f_n(t)$ , pour tout $t\in[0,1]$ soient divergentes.

Merci de cacher vos réponses !

Posté par re : convergence en moyenne sans convergence simple 07-01-19 à 23:31

Bonjour luzak et bonne année à toi

Je pense à ceci :

Pour tout n, on découpe l'intervalle [0;1] en $2^n$ sous-intervalles de longueur égales $I_{n,1},\cdots I_{n,k},\cdots,I_{n,2^n}$

Et pour n donné, pour k allant de 1 à $2^n, f_{n,k}=\mathbf 1_{I_k}$

Quitte à renuméroter les $f_{n,k}$ , je pense que ça doit répondre à ta question.

Tu as convergence en moyenne, mais pas presque partout vers la fonction nulle : les points qui ne sont pas de la forme $k/(2^n)$ "sautent " une infinité de fois à 1.

Posté par re : convergence en moyenne sans convergence simple 08-01-19 à 08:47

Bonjour et tous mes vœux aussi !
Je pense que ton exemple ne satisfait pas à la demande : fonctions continues !

Posté par re : convergence en moyenne sans convergence simple 08-01-19 à 09:18

Tu remarqueras qu'il suffit de changer un tout petit poil mon exemple en reliant la masse à la terre.

Posté par re : convergence en moyenne sans convergence simple 08-01-19 à 11:16

Bon !
Il reste un ensemble négligeable où il y a convergence simple vers 0. On peut obtenir la divergence, en tout point, des suites $n\mapsto f_n(t)$ mais je reconnais que c'est de la chicane...

Posté par re : convergence en moyenne sans convergence simple 08-01-19 à 11:20

On peut toujours s'arranger pour que ce ne soit pas le cas en prenant pour chaque n un recouvrement de [0;1] par n+1 segments de longueur 1/n