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Convergence presque surement

Posté par
tomsoyer
14-06-21 à 19:04

Bonsoir,

J'ai un exercice sous les yeux qui me demande de calculé la limite de la suite suivante :

(\frac{2 \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} X_i X_j}{n(n-1)})_n

avec la suite (X_k)_k de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.

La réponse est : 2 E(X_0)^2
Cette dernière m'est trop direct et je ne parviens pas à retomber sur leurs pas.
Je sais bien qu'il faut utiliser la loi des grands nombres mais je ne vois pas comment l'utiliser ici. Pourriez-vous m'aider ?

Respectueusement,

Posté par
lionel52
re : Convergence presque surement 14-06-21 à 19:18

Hello ! Sur du 2 dans E[X0]^2 ?

Posté par
lionel52
re : Convergence presque surement 14-06-21 à 19:21

Exemple pour Xi = 1 pour tout i, la somme converge vers 1 et pas 2...

Posté par
tomsoyer
re : Convergence presque surement 14-06-21 à 19:22

Bonsoir lionel52,
Oui d'après eux.

Posté par
tomsoyer
re : Convergence presque surement 14-06-21 à 19:26

ah c'est de ma faute : i<j dans la somme et non pas i \leq j.
Je vous demande de l'aide et je ne vous aide même pas... pardonnez mon imprudence

Posté par
lionel52
re : Convergence presque surement 14-06-21 à 19:28

Ca changera pas grand chose...

J'obtiendrai toujours E[X0]^2

Posté par
tomsoyer
re : Convergence presque surement 14-06-21 à 19:28

Mais je n'ai pas l'impression que cela change quelque chose au final.

Posté par
tomsoyer
re : Convergence presque surement 14-06-21 à 19:30

Ils se sont peut-être trompé.
Puis-je vous demander comment vous trouvez  E(X0)^2 ?

Posté par
lionel52
re : Convergence presque surement 14-06-21 à 19:32

Ton num se réécrit (X1+...+Xn)^2 - (X1^2...+Xn^2) et tu peux appliquer 2 fois le theoreme

Posté par
tomsoyer
re : Convergence presque surement 14-06-21 à 19:47

Que puis-je dire hormis merci !



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