Niveau Licence-pas de math

Convergences en proba, presque sûre, en loi et en moyenne

Posté par ghisl 20-08-21 à 00:20

Bonjour, j'ai le corrigé de cet exo sous les yeux mais je comprends pas grand-chose de la différence entre ces modes de convergence, même après avoir relu les définitions maintes et maintes fois...

Soit (X_n)_n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi P(X_n = 1) = 1/n et P(X_n = 0) = 1 - 1/n. Discuter des différents modes de convergence de la suite.

Serait-il possible que vous me donniez de rapides définitions intuitives de tous ces modes svp, avec leurs différences et des exemples concrets (de la "vie de tous les jours") ?

Pour l'instant d'après ce que j'ai compris : la convergence presque sûre est une convergence "forte" malgré son nom (à partir d'un certain seuil, tous les ω sont égaux), la convergence en proba est une convergence plus "faible" (à partir d'un certain seuil, la majorité des ω convergent mais il peut y avoir des exceptions), la convergence en loi : deux suites suivent une loi semblable à partir d'un certain seuil... et la convergence L_k je sais pas trop, j'ai pas encore osé mettre le nez dedans...

Merci

Posté par re : Convergences en proba, presque sûre, en loi et en moyenne 20-08-21 à 11:46

Attention avec les mots forte/faible/faible* qui ont un sens bien précis qui n'est pas celui que tu penses.

La convergence en loi vers X, ça veut dire que les mesures $(P_n)$ (de probabilité) que sont les lois des $(X_n)$ convergent faiblement/étroitement vers la loi de X, c'est-à-dire que pour toute fonction continue bornée, $E(f(X_n))$ tend dans \mathbb{R} vers $E(f(X))$ . Ceci est équivalent à tout un tas de choses (théorèmes Portemanteau, Lévy, Slutsky, etc).
La convergence est loi est un "vraie" convergence parce que souvent (espaces polonais) elle est métrisable : il existe une distance d telle que $d(P_n,P)$ tend vers 0. Mais ça c'est niveau master alors tu peux oublier tout ça pour l'instant. Retiens juste que la convergence en proba et la convergence presque sûre ne sont souvent pas des "vraies" convergences de mesures dans un espace métrique.

La convergence en proba, ça veut dire que $P(|X_n-X|>\varepsilon)$ tend vers 0 pour TOUT epsilon. Avec des mots, ça veut dire que si tu fixes un seuil epsilon, aussi petit qu'il soit, et un autre seuil delta aussi petit que tu veux (entre 0 et 1), et si tu prends des n assez grands alors la distance entre $X_n$ et X sera plus petite que $\varepsilon$ sauf sur un ensemble tout petit (de proba plus petite que delta).
Evidemment la convergence en proba implique la convergence en loi. Je dis évidemment, mais ce n'est pas si évident que ça la première fois.

La convergence $L^p$ (en moyenne d'ordre r), ça veut simplement dire que $E(|X_n-X|^p)$ tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Ca implique la convergence en proba (inégalité de Markov).

La convergence presque-sûre est la plus difficile. Ca veut dire que

1) la $\liminf X_n$ et la $\limsup X_n$ (qui existent toujours et sont toujours mesurables) sont en fait égales presque partout (c'est-à-dire que $(\liminf X_n)(\omega) = (\limsup X_n)(\omega)$ pour tout omega, sauf sur un ensemble N tel que P(N) = 0) et on notera la variable aléatoire limite commune $\lim X_n$

2) $X_n = X$ presque partout en fait

Naturellement la convergence presque sûre implique la convergence en Proba. C'est le lemme de Fatou.
Par contre rien ne dit que convergence ps implique convergence L^p (normal, c'est faux).

En résumé : CV ps et CV L^p impliquent CV proba qui implique CV en loi.
Il y a une réciproque partielle qui dit que s'il y a convergence en loi alors on peut construire un unviers et un suite de v.a de cet univers qui ont des lois qui correspondent à celles des X_n, et telle que la nouvelle suite converge ps