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Coordonnées d'un point sur droite

Posté par
rhami
17-02-10 à 15:35

Bonjour,

J'aimerai avoir quelques pistes de réflexion sur ce problème :

Je connais l'équation d'une droite dans un plan.
Je connais les coordonnées d'un point A appartenant à cette droite.
Je connais une distance AB en sachant que B appartient également à cette droite.

Comment puis je trouver les coordonnées de B ?

Merci d'avance pour les éventuelles pistes.

Posté par
ptitjean
re : Coordonnées d'un point sur droite 17-02-10 à 17:25

Bonjour

Exemple en 2 dimensions :

Le point B est sur la droite y=mx+p donc ses coordonnées vérifient
yB=mxB+p

Le point B est à une distance d de A, ce qui se traduit avec une norme euclidienne par
d²=(xB-xA)²+(yB-yA

D'où en combinant ces deux équations
d²=(xB-xA)²+(mxB+p-yA

Tu as maintenant une équation du second degré à une inconnue xB
Normalement, deux réponses, ce qui est logique, puisque le point B peut être à une distance d de A d'un coté ou de l'autre de la droite.

Ptitjean

Posté par
rhami
re : Coordonnées d'un point sur droite 18-02-10 à 09:28

Merci beaucoup !

Posté par
clavat
re : Coordonnées d'un point sur droite 06-08-15 à 23:15

Bonjour,

Je remonte ce topic car j'ai le même problème et je n'ai pas réussi à réduire la formule de ptitjean.

Comment obtenir d'un seul coté Xb afin de résoudre l'équation ? Il n'y a pas de solution plus simple pour répondre à la question ?

Merci !

Posté par
gougnafier
re : Coordonnées d'un point sur droite 07-08-15 à 00:10

Bonjour,

Exemple d'exercice: Soit la droite D d'équation 2x + 3y + 5 = 0
A (2, -3) un point de la droite D
AB = \sqrt 13, B étant un autre point de D
Comment trouver les coordonnées de B ?

Appelons x' et y' les coordonnées du point B
Donc AB = \sqrt{(x'-2)² + (y'+3)²} = \sqrt{13}
Donc (x'-2)² + (y'+ 3)² = 13  (1)
De plus B appartient à D, donc on a :2x' + 3y' + 5 = 0, donc y' = (-2x' - 5)/3

Donc en injectant cette valeur de y' dans l'équation (1), on obtient :
( x' - 2)² + [\frac {-2x' - 5}{3} + 3]² = 13
Donc après simplification, on obtient : 13 x² - 52 x - 65 = 0
Donc x= -1 ou x = 5
Donc y = ( 2 - 5) / 3 = - 1 pour x = - 1, en utilisant  y' = (-2x' - 5)/3
Et y = ( - 10 - 5 ) / 3 = -5 pour x = 5
Donc les points B cherchés ont pour coordonnées ( -1, -1) et ( 5, -5)

Posté par
clavat
re : Coordonnées d'un point sur droite 07-08-15 à 00:50

Merci pour ta réponse !

Le problème ici c'est que j'essayer d'informatiser ce calcul.
C'est à dire que dans la formule :
d²=(xB-xA)²+(mxB+p-yA)²

Je connais tous les éléments sauf xB que je recherche, or dans mon programme je ne peux simplifier étape par étape la formule, il faut que je rentre directement :
xB = ...(l'ensemble de mes variables)

J'ai essayé en utilisant les identités remarquables de dé-factoriser tout ça, mais je n'arrive à rien de propre...

Une autre idée ?

Posté par
ricrac
re : Coordonnées d'un point sur droite 07-08-15 à 20:14

Solution astucieuse
Soit A=(a,b) et (u,v) un vecteur directeur de la droite.
On a le systèmedroite)
(x - a)/u = (y - b)/v   [équation symétrique de la droite]
(x - a)2 + (y - b)2 = distancev AB donnée.
en élevant au carré les 2 membres de l'équation symétrique, les 2 parenthèses au carré sont les variables d'un système linéaire de deux équations à deux inconnues.

Posté par
ricrac
re : Coordonnées d'un point sur droite 07-08-15 à 20:15

En ligne 3 ôter "droite)" en fin de ligne.



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