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coordonnées de points et valeur cos(x)

Posté par
aIchimiste
18-07-22 à 13:37

Bonjour à tous,

je ne sais pas trop comment résoudre cet exercice, j'ai d'abord pensé à remplacer x par les différentes propositions mais ça me parait un peu long.Merci d'avance pour vos réponses.


Enoncé:



Dans le plan muni d'un repère cartésien orthonormé, on considère les points
𝐴 (0 ; 0), 𝐵 (𝑥 ; 3), 𝐶 (𝑥 ; 0), où le nombre réel 𝑥 vérifie 𝑥 > 0 et 𝐶𝐴𝐵 ̂ = 30°
Que vaut 𝑥 ?
A. 3
B. 2√3
C. 3√2
D. 3√3

Posté par
ty59847
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 18-07-22 à 13:51

La réponse n'est pas immédiate.
Dans le titre, tu as parlé de cos(x) ; Il n'y a pas de cosinus dans l'énoncé.  Mais cette information sur les cosinus, elle peut éventuellement nous servir. Pas sûr.
A partir d'un dessin, il y a une des 4 valeurs qu'on peut éliminer rapidement.
Mais il en reste 3 !

En fait, l'étape n°1, c'est de recenser tout ce qu'on sait, et qui va pouvoir nous servir.
On parle d'un angle de 30°,  c'est déjà plus cool qu'un angle à 25° par exemple.
On sait quoi sur les angles à 30° ?
Tu proposais de remplacer x par les différentes propositions. Pourquoi pas, faute de mieux, mais tu ferais quels calculs ?
Détaille ton plan avec cette idée.

Posté par
aIchimiste
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 18-07-22 à 14:51

ty59847 @ 18-07-2022 à 13:51

La réponse n'est pas immédiate.
Dans le titre, tu as parlé de cos(x) ; Il n'y a pas de cosinus dans l'énoncé.  Mais cette information sur les cosinus, elle peut éventuellement nous servir. Pas sûr.
A partir d'un dessin, il y a une des 4 valeurs qu'on peut éliminer rapidement.
Mais il en reste 3 !

En fait, l'étape n°1, c'est de recenser tout ce qu'on sait, et qui va pouvoir nous servir.
On parle d'un angle de 30°,  c'est déjà plus cool qu'un angle à 25° par exemple.
On sait quoi sur les angles à 30° ?
Tu proposais de remplacer x par les différentes propositions. Pourquoi pas, faute de mieux, mais tu ferais quels calculs ?
Détaille ton plan avec cette idée.


En fait j'ai mis cos dans le titre parce que mon idée de base était :

-remplacer x par les différentes propositions
-Calculer les normes de AB , CB et AC
-Et ensuite utiliser le le théorème d'Al Kashi  et vérifier que 𝐶𝐴𝐵 ̂ = 30°

Posté par
aIchimiste
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 18-07-22 à 15:23

Voici mon raisonnement complet pour la D:

AB (3√3; 3) → || Ab || = 6
BC (0;-3) → || BC|| = 3
AC (3√3; 0) → || AC || = 3√3

Ensuite j'utilise le théorème d'Al Kashi:

9= 36 + 27 -2 x 6 x 3√3 x cos()
9= 63 - 36√3 x cos()
cos()= √3/2

cette méthode fonctionne très bien mais le problème c'est qu'elle nécessite de tester toutes les propositions et que cela prends un peu de temps. Sachant que je suis censé répondre à cette question en 3 minutes donc je me demande si y'a une méthode peut être plus rapide au quelle je n'ai pas pensé.

Posté par
Priam
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 18-07-22 à 15:49

Bonjour,
Il me semble qu'en exprimant dans le triangle ABC  cosx en fonction de  x , on obtient rapidement la bonne valeur de  x .

Posté par
ty59847
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 18-07-22 à 16:39

Quand tu trouves que pour le point D, tu trouves que le cosinus donne √3/2 , et visiblement, tu sais que cette valeur correspond à cos(30°).

Ici, on a un triangle rectangle en C dans les 3 cas. Pour identifier si l'angle en question vaut 30°, on peut calculer son cosinus (AC/AB) et vérifier si ça donne√3/2
On peut aussi calculer le sinus (CB/AB) et vérifier si ça donne1/2, et on peut enfin calculer la tangente (CB/AC), et vérifier si ça donne 1 / √3
En termes de calcul, c'est cette dernière piste qui est la plus rapide, parce que la longueur CB, c'est 3, et la longueur AC, c'est x

On évite d'utiliser la longueur AB, qui est compliquée.

On cherche donc x, tel que 3/x = 1/√3

Et ça nous donne la solution D.

Posté par
aIchimiste
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 18-07-22 à 18:14

ty59847 @ 18-07-2022 à 16:39

Quand tu trouves que pour le point D, tu trouves que le cosinus donne √3/2 , et visiblement, tu sais que cette valeur correspond à cos(30°).

Ici, on a un triangle rectangle en C dans les 3 cas. Pour identifier si l'angle en question vaut 30°, on peut calculer son cosinus (AC/AB) et vérifier si ça donne√3/2
On peut aussi calculer le sinus (CB/AB) et vérifier si ça donne1/2, et on peut enfin calculer la tangente (CB/AC), et vérifier si ça donne 1 / √3
En termes de calcul, c'est cette dernière piste qui est la plus rapide, parce que la longueur CB, c'est 3, et la longueur AC, c'est x

On évite d'utiliser la longueur AB, qui est compliquée.

On cherche donc x, tel que 3/x = 1/√3

Et ça nous donne la solution D.


Comment as-tu su que nous avions un triangle rectangle?

Posté par
ty59847
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 18-07-22 à 18:21

Là, il faut faire un dessin, étape préliminaire indispensable dès qu'on parle de triangle ou de figure géométrique en général.
Un très vague croquis suffit.

AC est horizontale, (même ordonnée égale à 0)
CB est verticale (même abscisse égale à x).
Donc on a un angle droit en C.

Evidemment, je n'ai pas fait de dessin. Quand on a beaucoup de pratique, on n'a plus besoin de faire ce dessin. Mais si on hésite, et qu'on ne fait pas de dessin, on est impardonnable.

Posté par
ty59847
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 18-07-22 à 18:27

Effectivement, si on ne voit pas que le triangle est rectangle, on part dans des trucs très compliqués !

Posté par
aIchimiste
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 18-07-22 à 18:46

c'est clair ! Merci beaucoup ,  je suis complètement passé à coté de ce détail.

Posté par
AyoubAnnacik
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 19-07-22 à 02:07

L'angle 30° c'est /6 de valeur tangente égale à 1/3
Donc en faisant un schéma clair tu peux déduire que tan(30)=3/x = 1/3
Donc x = 33
La bonne réponse est le quatrième choix

Posté par
aIchimiste
re : coordonnées de points et valeur cos(x) 21-07-22 à 17:07

Merci



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