Niveau Préparation CRPE

Corollaire du TVI

Posté par
bouchaib 06-09-25 à 13:49

Bonjour,

Exercice :

   1. Montrer que   $x^2+x=\frac{5}{x+1}$ , admet une unique solution dans l'intervalle [1; 2],
2. Montrée que cette solution $\alpha$ appartient à l'intervalle [1; 3/2].
Réponses :
Aucun problème pour la question 1,seulement pour pour le nouvel encadrement de alpha, l'unique solution de l'équation h(x)=0;
Le choix de h(x) m'a posé problème ,

  Quand j'ai calculé h(3/2) j'ai obtenu :

   $h(x)= x^2+x-\frac{5}{x+1}=7/4$

c'est à dire j'ai déplacé tout le membre droit de l'égalité donnée à la question 1 sans faire le produit des extrêmes et des moyens de l'égalité.

Mais si h(x)= x^3+2x^2+x-5

et quand je calcule h(3/2), donne 35/8 ;

donc les 2 résultats sont différents.
Il y a un problème d'acquis ou erreur.

Je voudrais savoir mon erreur.

Merci

Posté par re : Corollaire du TVI 06-09-25 à 15:11

Bonjour,

"Mais si h(x)= x^3+2x^2+x-5 "

Oui, mais h(x) n'est pas égal à cela, on a :

h(x)= (x^3+2x^2+x-5)/(x+1)

h(3/2) = (35/8)/(5/2) = 7/4

Posté par re : Corollaire du TVI 06-09-25 à 15:13

Bonjour bouchaib, tu t'exprimes mal mais je pense avoir compris ton problème, corrige moi si ce n'est pas le cas. Par ailleurs, comment as-tu répondu à la première question avec le TVI ?

Tu dis que dans un premier temps, tu considères la fonction

$h(x) = x^2 + x - \dfrac{5}{x+1}$

et que tu appliques le TVI pour en déduire (1) et (2) en regardant ses zéros. Tu te demandes si tu obtiens la même chose en considérant plutôt

$\tilde{h}(x) = x^3 +2x^2 + x -5$

c'est bien ça ? En effet, $h(3/2) \neq \tilde{h}(3/2)$ , mais quel est le rapport avec la question ? Ces deux fonctions sont continues, négatives en 1 et positives en 3/2, donc admettent un zéro dans l'intervalle de l'énoncé. Il faut ensuite justifier qu'il est unique. Mais ce zéro est le même pour les deux fonctions, comme tu peux le vérifier immédiatement. Où est le problème ?