Bonjour.

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On sait que        où est un polynôme à coefficients entiers.
Si   était rationnel, il en serait de même pour , ce qui n'est pas le cas.

Bonjour perroquet.
Alors oui ... peut-être un peu succinct pour un niveau lycée . Ces 2 valeurs sont effectivement liées. Ici on peut les relier et arriver à la même contradiction en invoquant une suite à double rang de .  Je laisse en suspens la définition de ?

Bonjour,

On connait les valeurs rationnelles de cosinus : 0; 0.5; 1; -0.5 -1  si il y en avait d'autres ça se saurait

Il y en a d'autres : tous les rationnels compris entre -1 et 1

Bonjour à tous

La fonction cosinus est continue et surjective de R dans [-1;+1] , tu vois la suite

Mais bon , tu parlais certainement de cosinus pour des valeurs entières d'angles en degrés . Les réponses courtes c'est pas mal mais parfois on ne comprend tout simplement rien

Imod

Allez, je donne, car je vais m'abstenter pour quelques temps.

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Les formules de trigo donnent:


La suite , vérifie donc la récurrence suivante:



En degré, si est rationnel, alors aussi. Et par récurrence, tous les devraient être rationnels.
Or , d'où la contradiction

Juste je trouvais très beau la récurrence sur . Je ne me souvenais plus de cette relation, au milieu de toutes les formules de trigo (que je connaissais sans faute à une certain époque).

Oui, joli et niveau terminale

Oui. Et en plus ça montre le passage d'une définition explicite à une définition par récurrence. La plupart du temps, au lycée, on ne va que de la récurrence vers l'explicite. Je trouve cet exemple intéressant aussi pour cela.

C'est vrai !

Bonjour,

perroquet et fabo34 ont la même démonstration :

perroquet suppose connue l'existence des polynômes de Tchebycheff alors que fabo34 fait la démonstration de la récurrence d'ordre 2 qui permet de calculer ces polynômes.

La contradiction vient du fait que est irrationnel.