Bonjour,

Pour le 1)

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Ça me fait penser aux codes correcteurs.
Celui qui voit tout donne le bit de parité. Par exemple Noir pour "Il y a un nombre pairs de noir" et Blanc pour "Il y a un nombre impair de noirs". Ensuite celui qui voit "tout moins 1" parle et ainsi de suite.
Au pire, il y a 1 étudiant en examen.

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Celui qui voit tout donne une couleur qu'il ne voit pas. C'est soit la sienne, soit celle qui est absente. Puis c'est celui qui voit "tout moins 1" qui parle etc...
Si il a tort (et que les autres le savent), alors de proche en proche tous les autres auront juste.
Si il a raison (et que les autres le savent), il subsiste toujours un doute (1 chance sur 2). Le premier qui aura tort débloquera la situation pour les autres, et ce sera le seul à aller en examen.
Donc 1 étudiant en examen dans le pire cas.

OK pour le 1) bravo

Non, ils ne le savent pas forcément pour le 3) mais même si c'était le cas, je ne comprends pas ton raisonnement.
Le premier qui parle a 1 chance sur 2 de se tromper.
- S'il a raison, le suivant connait la couleur sur la tête du précédent et toutes celles devant lui. Il hésite donc entre la couleur non distribuée et celle sur sa propre tête. A nouveau 1 chance sur 2 de se tromper, je suis d'accord avec toi.
- S'il a tort, le suivant connait la couleur non distribuée et toutes celles devant lui mais il n'a absolument aucune idée de la couleur sur la tête de celui qui  vient de parler. Il hésite donc entre la couleur de celui qui vient de parler et celle sur sa propre tête. A nouveau 1 chance sur 2 de se tromper.

Si le sort s'acharne contre les pauvres étudiants, le premier donne la couleur non distribuée et chacun de ceux qui parlent ensuite donne la couleur de son prédécesseur. Bilan, ils vont tous à l'examen final.  A moins que je n'ai pas compris ce que tu voulais faire.

Bonjour,
Oui en effet ça ne change pas le problème. Erreur de raisonnement de ma part. Donc pour l'instant j'amène en gros la moitié des étudiants en examen puisque c'est 1 chance sur 2 à chaque fois. C'est déjà ça. Mais crois que j'ai mieux :

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Ah non en fait

Bon ben du coup, on peut faire encore mieux...

Alors quelques petits indices :
Pour le 2) on peut avoir un seul étudiant max qui passe l'examen en étendant l'idée de thetapinch27
Pour le 3) on peut avoir 3 étudiants max qui passent l'examen en utilisant le 2) mais on pourra aussi faire encore mieux en trouvant une autre idée (je vous en dirais plus si on arrive jusque là car c'est vraiment joli du moins selon mes gouts)

Pour 2)

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On assigne à chaque couleur une valeur de 0 à c-1.
Le premier donne la somme de tous les chapeaux qu'il voit modulo c.
Le suivant peut calculer la somme de tous les chapeaux qu'il voit.

Il peut calculer son chapeau comme la difference entre les deux sommes modulo c.

Les suivants connaissent la somme totale, les chapeaux des précédents et la somme des chapeaux des suivants. Ils peuvent donc déduire la couleur de leur chapeau.

Seul le premier a (c-1)/c chances de devoir repasser l'examen.

Pour moi le 3) est le même que le 2)

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Simplement puisque la somme initiale modulo peut donner l'un des chapeaux des suivants, celui-là ne pourra pas dire son propre chapeau. Il lui suffit de dire un des deux chapeaux restants.

On a donc au pire 2 étudiants qui doivent repasser l'examen.

Ah ben voilà !
Bien joué LittleFox, pour le 2) mais pour le 3) je ne suis pas entièrement d'accord ou alors il y a quelque chose qui m'échappe.
Dans les 2 chapeaux restants, je présume que tu comptabilises celui du premier qui a parlé et celui non distribué.
Mais en disant l'une de ces 2 couleurs, le suivant a parler va croire que cette réponse qu'il vient d'entendre correspond à la couleur du chapeau du précédent.
Donc il va faire les calculs avec cette donnée et après ça risque de devenir n'importe quoi, non ?

Un petit indice pour vraiment optimiser la question 3)
Pensez "permutations", cela devrait faire plaisir à GBZM

@Vassillia
Tu as raison, une fois atteint celui qui ne peut dire son chapeau, l'argument est fichu.
Les deux chapeaux restants (celui non distribué et celui du premier qui parle) ne sont pas indépendants des autres chapeaux, il y a peut-être un argument à voir là.

Histoire d'en finir avec ce problème, sauvons la stratégie de LittleFox. Celui qui a le chapeau qui a été annoncé au tout début et qui ne peut donc pas donner sa couleur se sacrifie en donnant la couleur du chapeau du dernier à parler que tout le monde peut voir.
Ainsi ils devinent tous la vraie couleur qui aurait du être donnée par le malheureux sacrifié, c'est celle donnée au tout début, et donc les affaires peuvent reprendre normalement.
Bilan : le premier qui parle, celui qui a la couleur correspondante et le dernier qui parle peuvent être amenés à passer l'examen mais on peut faire mieux.

On imagine la liste des couleurs en rajoutant au tout début celle non distribuée puis les couleurs dans l'ordre où les étudiants vont parler (de celui qui en voit le plus à celui qui en voit le moins).
On a donc une permutation de n+1 couleurs, le premier à parler hésite entre 2 couleurs, il doit donc choisir entre 2 permutations qui ne différent que par une transposition. Il y en a forcément une paire et l'autre impaire, il choisit la permutation paire et par la suite tous les autres feront de même. Ils choisiront entre les 2 couleurs de sorte à avoir une permutation paire et seront donc assurés d'avoir la bonne réponse.

Ce n'est pas clair, prenons un exemple où on remplace les couleurs par des chiffres :
Le premier à parler sait ??42 il hésite donc entre 1342 et 3142 et il choisit la permutation paire c'est à dire 1342 et donne la réponse 3 (on ne sait pas s'il a raison)
Le second à parler sait ?3?2 il hésite donc entre 1342 et 4312 et il choisit la permutation paire c'est à dire 1342 et donne la réponse 4 (il a forcément raison)
Le dernier à parler sait ?34? il hésite donc entre 1342 et 2341 et il choisit la permutation paire c'est à dire 1342 et donne la réponse 2 (il a forcément raison)

Bilan : seul le premier à parler peut être amené à passer l'examen.
Je trouve cette solution qui n'est pas de moi mais de Konstantin Knop et Alexander Shapovalov absolument magnifique, j'espère que cela vous aura plu quand même.

C'est une belle solution 🙂