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Couleurs
Bonsoir
Soient trois jetons de couleurs : bleur , vert et rouge , on effectue n tirages au hasard avec remise d'un jeton à la fois et on note à chaque fois la couleur obtenue .
Si à chaque tirage la probabilité d'obtenir un jeton rouge est 4/9 , celle d'obtenir un jeton bleu 2/9 et celle d'obtenir un jeton vert 1/3.
Quelle est la probabilité qu'en n tirages on ne trouve pas deux couleurs identiques qui se suivent ?
Bonjour dpi , tu veux dire que si on effectue n tirages avec remise alors en moyenne on est assuré d'avoir 2n/3 cas pour lesquels on a pas deux couleurs identiques qui se suivent ?
..ca me parait excessif
si je fait 1000 séquences de 10 tirages (n=10) , je vais vais trouver environ 26 séquences pour lesquels je ne trouve pas deux couleurs identiques qui se suivent
Ça me parait excessif une probabilité de 26/1000 pour n=10. C'est environ la probabilité que j'obtiens si les couleurs sont équiprobables.
J'obtiens environ 20.5/1000 pour n=10 avec les ratios 4:2:3.
Bienvenue dans le multivers où toutes les possibilités se réalisent en même temps 
A chaque étape, chaque univers produit 9 nouveau univers: 4 où on a tiré rouge, 2 vert et 3 bleus. On détruit ensuite (ou on ne génère pas selon les goût 
) les univers où la couleur tirée est la même que la précédente.
Soit R (resp. B, V) le nombre d'univers où la dernière couleur tirée est le rouge (resp. bleu, vert). Soit T le nombre total d'univers.
On a au départ
On a
La probabilité d'être dans un univers est le nombre d'instance de cet univers divisé par le nombre d'univers générés (si on en détruisait aucun). Ce nombre est simplement
La probabilté recherchée est donc
En forme matricielle:
En programme:
Cliquez pour afficherRésultat:
Cliquez pour afficherOn a à chaque étape environ 35% de chance d'avoir une couleur qui se répète. Et donc autant d'univers détruits
Une analyze des valeurs propres de la matrice de transition donne que la plus grande valeur propre est ~0.64986.
Et (0.64986)^(n-1) est plutôt une bonne approximation: 0.8% d'erreur pour n=10.
Bonjour LittleFox,
la matrice carrée est suffisante pour calculer la probabilité demandée.
Son polynôme caractéristique étant la suite
des probabilités demandées vérifie la récurrence
avec les valeurs initiales
,
et
.
Cette récurrence permet de calculer rapidement (avec un court programme) des valeurs approchées de .
Par exemple :
On peut aussi écrire une formule générale pour comme une combinaison linéaire de trois suites géométriques de raisons
,
et
(valeurs approchées des trois valeurs propres de la matrice
).
Bonjour jandri,
Oui, je sais que A est suffisante, T étant juste une combinaison linéaire de R, B et V.
Ça pose problème pour n=0, mais on peut commencer après le premier tirage.
Ce n'est pas clair pour moi pourquoi cette récurrence marche. Est-ce que tu aurais un lien vers une leçon ou une justification ?
Avec un petit programme, on peut même calculer la valeur exacte. Ça ne pose pas de problème en python d'avoir des nombres entiers de centaines de chiffres
LittleFox,
je n'ai pas donné la valeur exacte pour car la fraction simplifiée a un numérateur de 77 chiffres et un dénominateur de 96 chiffres : je l'ai calculée avec un programme que j'ai écrit il y a bientôt 30 ans sur ma calculatrice TI92.
Voilà comment j'ai obtenu la relation de récurrence (je généralise à trois couleurs ayant les probabilités avec
).
Je note (resp
et
) la probabilité de ne pas trouver deux couleurs identiques qui se suivent avec la couleur A (resp B et C) au premier tirage.
On a clairement avec
.
Le polynôme caractéristique de la matrice est égal à
en posant
et
.
On en déduit que les suites vérifient la récurence
et donc la suite
également.
On complète par le calcul de ,
et
.
Bonjour,
Une petite expérience en couleur respectant les consignes...
Finalement les successifs sont ici 34/99
Et donc les non-successifs 64/99.
bonjour , j'ai fais un bout de code que j'ai rectifié ( car je l'ai ecris avec équiprobabilité de sortie des couleurs 
... alors que c'est moi qui est posé l'enoncé :D) je vous le propose ci dessous et j'arrive en moyenne à 20,5 cas sur 1000 pour lesquels on ne trouve pas deux couleurs identiques qui se suivent lorsque on effectue des tirages de longueur 10 :
Sub coolor()
Dim p As Double
Randomize
q = 0
x = 0
Do
x = x + 1
s = 0
e = 0
Do
e = e + 1
w = ""
'10 tirages
k = 0
Do
k = k + 1
p = Rnd
If p >= 0 And p < 4 / 9 Then
w = w & "R"
End If
If p >= 4 / 9 And p < 6 / 9 Then
w = w & "B"
End If
If p >= 6 / 9 And p < 1 Then
w = w & "V"
End If
Loop Until k = 10
n = 0
For i = 1 To Len(w) - 1
If Mid(w, i, 1) = Mid(w, i + 1, 1) Then
n = n + 1
End If
Next
If n = 0 Then
s = s + 1
End If
Loop Until e = 1000
q = q + s
Loop Until x = 10000
MsgBox q / x ' retourne environ 20,5
End Subon peut retrouver le resultat donné par Jandri
soit Rn la probabilité de ne pas avoir deux couleurs identiques qui se suivent en n tirages et la premiere boule est rouge
soit Bn la probabilité de ne pas avoir deux couleurs identiques qui se suivent en n tirages et la premiere boule est bleue.
soit Vn la probabilité de ne pas avoir deux couleurs identiques qui se suivent en n tirages et la premiere boule est verte
et soit Pn la probabilité qu'en n tirages on ait pas deux couleurs identiques qui se suivent , on a donc :
Pn = Rn + Vn + Bn
on a aussi
Rn = (4/9)(Bn-1+Vn-1)
Bn=(2/9)(Rn-1+Vn-1)
Vn=(1/3)(Bn-1+Rn-1)
avec V1 = 1/3 , R1=4/9 et B1=2/9 .
j'ai mi tout ca dans la machine :
Function r(n As Integer) As Double
If n = 1 Then
r = 4 / 9
Else
r = (4 / 9) * (b(n - 1) + v(n - 1))
End If
End Function
Function b(n As Integer) As Double
If n = 1 Then
b = 2 / 9
Else
b = (2 / 9) * (r(n - 1) + v(n - 1))
End If
End Function
Function v(n As Integer) As Double
If n = 1 Then
v = 3 / 9
Else
v = (3 / 9) * (b(n - 1) + r(n - 1))
End If
End Function
Function p(n As Integer) As Double
If n = 1 Then
p = 1
Else
p = b(n) + r(n) + v(n)
End If
End Function
Sub test()
MsgBox p(10) ' retourne 2,0501.10-2
End Sub
sauf erreur
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