Bonjour,

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Sauf mécompréhension de ma part de l'énoncé, l'une des premières restrictions sur est que l'on puisse découper un n-gone en deux n-gones (quelque soit leurs formes pour l'instant).

Ce découpage peut se faire de trois façon distinctes.
  - (1) La tranche se fait entre deux sommets.
  - (2) La tranche se fait entre un sommet et le milieu d'une arrête.
  - (3) La tranche se fait entre les milieux de deux arrêtes.

Analysons ces trois cas.

Dans le cas (1), on sépare les côtés initiaux en à gauche de la coupe et à droite de la coupe. Par symétrie axiale sur la tranche, il suffit de considérer le polygone de gauche ainsi créé. Ce dernier dispose, par construction, de côtés. Or, pour satisfaire l'énoncé, il doit en avoir . Donc vérifie qui a pour solution . Absurde, car un polygone du plan euclidien réel dispose d'au moins 3 côtés.

Dans le cas (2), on retire l'arrête que l'on tranche puis on sépare le nombre de côtés restants en deux. Le polygone de gauche dispose donc des côtés fournis par cette méthode plus un côté pour la tranche plus la demi-arrête qui a été coupée. Donc le polygone de gauche a côtés. Or, il doit en avoir . Donc vérifie l'équation qui a pour unique solution : c'est le cas du triangle.

Dans le cas (3), on retire les deux arrêtes coupée par la tranche, on sépare les côtés restants sur les deux polygones et on ajoute a chacun les demi-arrêtes coupées par la tranche ainsi que le côtés de la tranche. Le polygone de gauche admet donc côtés. Donc satisfait l'équation qui a pour unique solution . C'est le cas du quadrilatère.

Par conséquent, de part cette première restriction et l'existence de tels découpages pour les triangles et les quadrilatères, les seuls qui satisfont l'énoncé sont et .

Bonjour Sugaku

Je viens de me rendre compte en lisant ta réponse à quel point mon illustration pouvait prêter à confusion

Le polygone initial est découpé en suivant une ligne brisée donc pas nécessairement constituée d'un seul segment .

Désolé pour l'imprécision

Imod

Une solution simple pour n=6 :

Si on prends l'exemple de ty59847 et qu'on le découpe en deux suivant le segment [FC] on a un bloc élémentaire qu'on appellera . Ce bloc élémentaire marche pour . On appelle son symétrique sur un axe horizontal.

Si on colle   et   on obtiens l'exemple de ty59847 qui fonctionne pour . Si on recolle par dessous   on a un exemple qui fonctionne pour . Si on recolle par dessous   on a un exemple qui fonctionne pour . Etc, etc...

Finalement, on obtient des exemples fonctionnels pour tout les entiers pairs.

De plus, via cette décomposition par blocs je pense qu'on peut récupérer tout les entiers impairs également en prenant l'exemple pour   et d'y coller un triangle isocèle rectangle mais il faut vérifier que ça fonctionne bien.

En traçant l'exemple de ty59847 et en y adjoignant un triangle isocèle rectangle en son sommet je me rends compte que cette construction pour les impairs ne fonctionne pas. Si un exemple existe alors ce n'est pas celui que j'ai proposé pour les n impairs.

Bien vu , le cas pair est résolu , il reste le cas impair .

Imod

Pour le cas n impair, considérons que la découpe a p segments.
Si la découpe relie 2 sommets, le nombre total de segments des 2 surfaces obtenues sera n+2p, qui est un nombre impair.
Si la découpe relie 2 points qui ne sont pas des sommets, même constat.
La découpe doit relier un sommet et un point qui n'est pas un sommet.
Le nombre total de segments est alors n+1+2p, et on veut que ce soit égal à n, donc on choisit p=(n-1)/2.
On constate que ça colle avec la solution proposée pour le triangle.
Reste à trouver une forme.

L'énoncé parle de 2 polygone directement isométrique. 'Directement', ça veut dire qu'on exclue les symétries axiales.

A suivre, peut-être.

Correctif à mon message précédent.
On doit avoir 2 n-gones.
Pour n impair, la coupe doit relier un sommet et un point qui n'est pas un sommet. Sauf si on a une configuration de ce type :

Reste après à faire en sorte que les 2 n-gones obtenus soient isomorphes. C'est une autre paire de manches.

Pour ne pas me contenter de commenter les réponses , j'avais aussi le cas pair et n=3;5;7;9 . Je n'ai pas encore de description du cas général impair même si j'ai tendance à croire que c'est toujours possible .

Un exemple pour n=5 :

Imod

A partir du moment où il y a une solution pour n=5, je pense qu'il y a une solution pour tout n impair.
Avec une 'ressemblance' forte entre n et n+4.

Si le résultat semble clair , la construction est loin d'être évidente car pour passer de n à n+2 , il faut ajouter 2 côtés à chaque polygone ( même au grand ) .

n=7


n=9

Imod

On trouve une similarité :
La coupe part d'un sommet et arrive au milieu du segment opposé. Le point d'arrivée est le centre de la rotation d'angle 90° entre les 2 figures.

Et d'ailleurs, on pourrait à chaque fois compléter le carré, par symétrie.

Oui en fait chaque figure se résume à une ligne brisée partant d'un sommet du carré à son centre et que l'on fait tourner 4 fois de 90° autour de ce centre .

Imod

... et je pense qu'on peut ainsi construire toutes les découpes possibles avec n impair .

Mais il est un peu tard .

Imod

On trace les 2 bords du carré. On trace une ligne brisée quelle qu'elle soit , partant du centre du carré vers le coin en bas à droite, une ligne avec n segments.  On évite quand même les segments trop long dans telle ou telle direction, on peut par exemple se limiter à une courbe brisée qui reste dans le quart inférieur droite.
On fait 2 copies de cette ligne en la faisant tourner de 90°à droite et à gauche autour du centre du carré.
Et on a résolu le cas 2n+1

Bonjour,
Une illustration :

C'est bien ce que j'avais vu avant d'aller rejoindre Morphée

Après coup c'est curieux qu'une construction aussi simple n'apparaisse pas instantanément  .

Imod

La toute première figure (le triangle) dans le message de lancement était déjà un cas particulier de cette 'série'.
Mais comme il était orienté différemment, il ne suggérait pas la suite.
Et au final, le dessin de Sylvieg est clair, on voit très bien qu'il y a une solution pour n'importe quelle valeur de n impair.
Mais la démarche intellectuelle de recherche est intéressante. On a tous eu besoin de ces étapes brouillonnes pour arriver à un truc qui saute aux yeux.

Une autre illustration pour le cas n pair :