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couple de variable aléatoire
bonjour,
Voici un exercice que j'ai fait en entier. Y aurait-il quelqu'un de gentil pour me le corriger ? ce serait 
D'avance, merci.
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Soit (X,Y) un couple aléatoire de densité
f(x,y)=(6y²)/x² pour (x,y) appartenant à T
= 0 sinon
où T est le triangle de sommets (0,0), (1,0) et (1,1) qui peut également être défini par : {(x,y), tel que 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x}
Trouver :
- les densités marginales de X, de Y.
- les espérances de X et de Y
- les variances de X et de Y
- la covariance de X et Y
- X et Y sont-elles indep ?
- la loi conditionnelle de Y sachant X=x
- la loi conditionnelle de X sachant Y=y
- E(Y|X=x)
- En déduire E(Y)
- Retrouver la variance de Y grâce à la loi conditionnelle de Y|X=x
- On définit U=Y/X, déterminer le densité du couple (X,U), puis la loi marginale de U.
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Voici mes réponses, attention, ça fait un peu peur...
.Loi de X : 2x pour x entre 0 et 1
.Loi de Y : 6(-y²+y) pour y entre 0 et 1
.E(X) = 2/3
.E(X²) = 1/2
.V(X) = 1/18
.E(Y) = 1/2
.E(Y²) = 3/10
.V(Y) = 1/20
.E(XY) = 3/8
.cov(X,Y) = 1/24 donc X et Y sont corrélées et ont tendance à varier dans le même sens
.X et Y non indep car le produit des densités marginales n'est pas égale à la densité du couple.
.Loi de Y|X=x : (3y²)/(x3) pour x entre y et 1
.Loi de X|Y=y : -1/(6x²y) pour y entre 0 et x
.E(Y|X=x) = (3/4)x
.E(E(Y|X=x)) = E((3/4)X) = (3/4)E(X) = (3/4)*(2/3) = 2/4 = 1/2 = E(Y)
.E(Y²|X=x) = (3/5)x²
.V(Y|X=x) = (3/80)x²
.V(Y) = V[E(Y|X)]+E[(V(Y|X))] = V[(3/4)X]+E[(3/80)X²] = (3/4)²V(X)+(3/80)E(X²) = (9/16)*(1/18)+(3/80)*(1/2) = 1/20 = V(Y)
.la densité du couple (X,U) : 6u²x pour 0 
x 1 et 0 u 1
.Loi de U : 3u² pour u entre 0 et 1
Je n'ai rien vérifié de tes résultats mais veux juste faire une remarque : tu peux aussi justifier que X et Y ne sont pas indépendantes en remarquant que E(XY)
E(X)E(Y)
Personne ne t'a aidé à vérifier tes résultats didjey ? Moi je n'ai vraiment pas le temps en ce moment. Je vois que les lois conditionnelles et compagnie n'ont guère de succès sur l'île.
Bonjour,
Non, non, je n'ai pas trop de réponses...
Mais ça se comprend :, ce n'est pas très drôle les couples de lois, ainsi que les moments et fonctions génératrices auxquels je me casse la tête malgré quelques explications de Kaiser : je ne vois pas à quoi ça sert !
Bref, on verra bien à l'exam ...
"je ne vois pas à quoi servent les moments et fonctions génératrices", pas les explications de Kaiser !!! au cas où il y ait méprise !!
Oui déterminer des lois conditionnelles à partir de la loi d'un couple, c'est, une fois que t'as compris le truc, seulement du calcul. Pas très drôle en effet, comme tu dis. Mais il y a des problèmes très intéressants en proba.
Dans quel post as-tu posé des questions sur les moments et fonctions génératrices ? Je vais chercher ça...
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