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Courbe de fonction se déduisant d'une autre

Posté par
pppa
18-08-15 à 10:36

Bonjour

pouvez-vous m'aider svp à faire une démonstration.

Soit les fonctions :
f définie par f(x),
f_1 définie par f_1(x)= f(\lambda x)
f_2 définie par f_2(x)= f(x + \mu)
f_3 définie par f_3(x)= f(\lambda x + \mu),
dont les courbes représentatives sont tracées dans un plan rapporté  un repère orthonormé (O;\vec{i};\vec{j}).

Je sais  que:
la courbe représentative de f_1 se déduit de celle de f en multipliant les abscisses par \frac{1}{\lambda} pour une même ordonnée,
la courbe représentative de f_2 se déduit de celle de f par translation de vecteur -\mu\vec{i}

par contre je n'arrive pas à démonter que  la courbe représentative de f_3 se déduit de celle de f_1 par translation de vecteur -\frac{\mu}{\lambda}\vec{i}, et non de celle de f.
Je le comprends intuitivement à partir de graphiques sur des fonctions affines ou circulaires, j'ai essayé de faire la démonstration en posant \lambda x  = X, donc  x=\frac{X}{\lambda}, mais je ne parviens pas à faire la démonstration convaincante.

Pouvez-vous m'expliquer svp

Merci par avance

Posté par
WilliamM007
re : Courbe de fonction se déduisant d'une autre 18-08-15 à 11:34

Bonjour.

f_3(x)=f(\lambda x+\mu)
f_3(\frac{x-\mu}{\lambda})=f(x)

Donc on peut faire correspondre au point (x,y) appartenant à la courbe de f le point (\frac{x-\mu}{\lambda},y) appartenant à la courbe de f_3.

Il faut donc d'abord translater de -\mu\vec{i}, puis diviser l'abscisse par \lambda.

Posté par
pppa
re : Courbe de fonction se déduisant d'une autre 18-08-15 à 12:12

Je suis d'accord, mais graphiquement il semble que cette translation se fasse entre f1 et f3, et non entre f et f3

Posté par
WilliamM007
re : Courbe de fonction se déduisant d'une autre 18-08-15 à 12:38

Oui, la courbe de f_3 est la courbe de f_1 translatée de -\mu\vec{i}.
C'est aussi la courbe de f, translatée de -\mu\vec{i} puis dilatée de \frac{1}{\lambda}.

Posté par
pppa
re : Courbe de fonction se déduisant d'une autre 18-08-15 à 12:38

Ici f(x) = cos x
    f1(x) = cos 2x
    f3(x) = cos (2x + (pi/3))

[img]

Courbe de fonction se déduisant d\'une autre

Posté par
pppa
re : Courbe de fonction se déduisant d'une autre 18-08-15 à 12:42

Mais sur le graphique on voit bien que la courbe de f3 est la translatée de celle de f1 - et non de celle de f - par translation de -\frac{\mu}{\lambda}\vec{i}, avec µ = \frac{\pi}{3} et \lambda = 2

non ? Ou alors où me serais-je trompé ?

Merci de me dire

Posté par
WilliamM007
re : Courbe de fonction se déduisant d'une autre 18-08-15 à 12:56

Oui je reprends.

La courbe de f_3 est la courbe de f_1 translatée de -\frac{\mu}{\lambda}\vec{i}.
C'est aussi la courbe de f, translatée de -\frac{\mu}{\lambda}\vec{i} puis dilatée de \frac{1}{\lambda}.

Posté par
pppa
re : Courbe de fonction se déduisant d'une autre 18-08-15 à 13:14

D'accord, mais ce que je ne sais pas établir, que je n'arrive pas à comprendre, c'est comment démontrer que la courbe représentative de f3 se déduit de celle de f1 par translation de vecteur -\frac{\mu}{\lambda}\vec{i}, même si je le constate visuellement.

En fait, ie cherche à comprendre comment, à, partir des résultats fondamentaux que j'ai compris et rappelés dans mon premier message, on établit le résultat ci-dessus ; passant de la courbe de cos 2x à celle de cos (2x+(pi/3)), j'aurais répondu : translation de vecteur -\frac{\pi}{3}\vec{i} ; donc où est la faille dans mon raisonnement ? Merci de me dire

Posté par
Nofutur2
re : Courbe de fonction se déduisant d'une autre 18-08-15 à 16:08

On pose X=x+/
On a f1(X)=f(X*)=f(*x +)=f3(x)
Donc
f1(x+/)=f3(x)
CQFD
La courbe de f3 est la courbe de f1 translatée de -(/)*

Posté par
pppa
re : Courbe de fonction se déduisant d'une autre 18-08-15 à 17:05

Tout simplement !

Merci Nofutur2



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