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croissance de la partie entiere

Posté par
ssssihem
05-11-18 à 21:08

bonsoir

je voudrais savoir comment on montre que la partie entiere est croissante ,je dois montrer cette equivalence  a≤b =>E(a)≤E(b) mais comment je dois faire s'il vous plait

Posté par
Zormuche
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:14

Bonjour

E(a)=\sup{\{m\in\Z, m\le a\}}
E(b)=\sup{\{m'\in\Z,m'\le b\}}

On a donc nécessairement  E(a) \le a  et  E(a)\in\Zd'après la définition

que dire de E(a) par rapport à b?

Posté par
ssssihem
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:19

Je ne comprends pas c'est quoi sup

Posté par
Zormuche
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:21

Quelle définition de la partie entière as-tu vu en cours ?

Posté par
philgr22
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:22

Bonsoir,
De deux choses l'une :  a et b sont dans le meme intervalle ou pas.

Posté par
philgr22
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:23

Je voulais dire ont la meme partie entiere

Posté par
ssssihem
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:27

c'est l'unique entiers relatifs n tel que        n<x<n+1  inférieur ou égal

Posté par
philgr22
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:28

Bonjour Zormuche

Posté par
ssssihem
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:33

a et b sont deux réels quelconques

Posté par
philgr22
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:35

Utilise la definition que tu connais

Posté par
philgr22
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:36

attention c'est nx<n+1

Posté par
ssssihem
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:39

Merci mais je crois que je laisse tomber

Posté par
philgr22
re : croissance de la partie entiere 05-11-18 à 21:44

reflechis c'est pas difficile ;cette fonction est definie par intervalles

Posté par
rcompany
re : croissance de la partie entiere 06-11-18 à 04:02

rappel de la définition de la partie entière n de x:

 \forall x \in\mathbb{R}, \:\exists !n\in\mathbb{Z}  n\leqslant x <n+1

Attention à ne pas utiliser dans la démonstration la croissance de la fonction partie entière, puisqu'elle n'a pas encore été démontrée!

Supposons que a,b\in \mathbb{R}\: et\:a\leqslant b

Soient E(A) et E(b) les parties entières respectives de a et b

E(a)\leqslant a<E(a)+1
E(b)\leqslant b\leqslant E(b)+1

\bullet Si\: b< E(a)+1,\: alors \:E(a)\leqslant a\leqslant b<E(a)+1,\:donc\:E(b)=E(a),\:donc\:E(a)\leqslant E(b)

\bullet Si\:b=E(a)+1,\:E(a)+1 \leqslant b<E(a)+2,\: donc\: E(b)=E(a)+1,\:donc\:E(a)\leqslant E(b)

\bullet Si\:\left \{ \begin{array}{l} E(a)+1<b \\ E(b)\leqslant E(a)+1 \end{array} \: alors\: E(b)\leqslant E(a)+1 <E(b)+1\:donc\: E\big(E(a)+1\big ) =E(b) \:donc\; E(a)=E(b)

\bullet Si\:\left \{ \begin{array}{l} E(a)+1<b \\ E(a)+1< E(b) \end{array} \: alors\:par\:hypotèse\: E(a)<E(b) \:donc\: E(a) \leqslant E(b)

Dans tous les cas de figure on a montré que a\leqslant b \Rightarrow E(a) \leqslant E(b)

donc en résumé,  \forall x,y \in \mathbb{R},\: x\leqslant y \Rightarrow E(x) \leqslant E(y) ce qui equivaut à dire que E(x) est croissante sur  \mathbb{R}

Posté par
pikobrahm
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 02:48

Bonjour à tous , je rencontre des difficultés dans la démonstration de rcompany  quand je vois E(b)=E(a), donc E(a)E(b) je me perds . Et j'aimerais savoir pourquoi. merci d'avance .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 12:05

Bonjour,
Es-tu d'accord avec l'inégalité 2022 2022 ?

Posté par
pikobrahm
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 12:21

Bonjour, oui je suis d'acord!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 13:33

Alors pourquoi te perds-tu avec "E(b)=E(a), donc E(a) E(b)" ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 13:38

Plusieurs remarques pour ce sujet :
1) Il n'y a pas équivalence entre a b et E(a) E(b) ; seulement implication.

2) Pour démontrer a b E(a) E(b), on peut démontrer la contraposée.
C'est à dire E(a) > E(b) a > b.
Ça permet d'éviter d'envisager plusieurs cas.

Posté par
pikobrahm
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 14:17

Je vois bien la première proposition mais dans suite je ne vois vraiment pas la méthode qui aboutir à la répondre... Merci.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 16:04

Je ne pourrais par revenir avant 21h.
Tu parles toujours de ta question de 2h48 ?

Posté par
pikobrahm
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 19:45

Bonsoir !

Citation :
Tu parles toujours de ta question de 2h48 ?

Non ! J'ai compris ça c'est la suite qui me pose problème maintenant .
Au fait je n'arrive pas discerner comment on arrive jusqu'à montrer E\left(a \right)\leq E\left(b \right).

Posté par
carpediem
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 20:37

salut

on peut simplement écrire :

a = m + r $ avec $ r \in [0, 1[
 \\ b = n + s $ avec $ s \in [0, 1[ m et n sont les parties entières de a et b

a \le b donc il y a deux cas m < n $ ou $ m = n

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 22:35

Bonsoir,
Je cite le message en numérotant les lignes :

rcompany @ 06-11-2018 à 04:02

1) rappel de la définition de la partie entière n de x:

2)  \forall x \in\mathbb{R}, \:\exists !n\in\mathbb{Z}  n\leqslant x <n+1

3) Attention à ne pas utiliser dans la démonstration la croissance de la fonction partie entière, puisqu'elle n'a pas encore été démontrée!

4) Supposons que a,b\in \mathbb{R}\: et\:a\leqslant b

5) Soient E(A) et E(b) les parties entières respectives de a et b

6) E(a)\leqslant a<E(a)+1
7) E(b)\leqslant b\leqslant E(b)+1

8) \bullet Si\: b< E(a)+1,\: alors \:E(a)\leqslant a\leqslant b<E(a)+1,\:donc\:E(b)=E(a),\:donc\:E(a)\leqslant E(b)

9) \bullet Si\:b=E(a)+1,\:E(a)+1 \leqslant b<E(a)+2,\: donc\: E(b)=E(a)+1,\:donc\:E(a)\leqslant E(b)

10) \bullet Si\:\left \{ \begin{array}{l} E(a)+1<b \\ E(b)\leqslant E(a)+1 \end{array} \: alors\: E(b)\leqslant E(a)+1 <E(b)+1\:donc\: E\big(E(a)+1\big ) =E(b) \:donc\; E(a)=E(b)

11) \bullet Si\:\left \{ \begin{array}{l} E(a)+1<b \\ E(a)+1< E(b) \end{array} \: alors\:par\:hypotèse\: E(a)<E(b) \:donc\: E(a) \leqslant E(b)

12) Dans tous les cas de figure on a montré que a\leqslant b \Rightarrow E(a) \leqslant E(b)

13) donc en résumé,  \forall x,y \in \mathbb{R},\: x\leqslant y \Rightarrow E(x) \leqslant E(y) ce qui equivaut à dire que E(x) est croissante sur  \mathbb{R}

Ainsi, pikobrahm, tu pourras préciser la ou les lignes qui posent problème.
Ceci dit, cette démonstration n'est pas la plus simple, loin de là.
Je te conseille plutôt de chercher avec la contraposée ou la méthode de carpediem.

Posté par
pikobrahm
re : croissance de la partie entiere 10-10-22 à 23:12

Bonsoir à tous !
Se sont les lignes 11 et 12  qui me pose problème et j'ai beau chercher à comprendre mais je n'arrive pas...
Pour la formule de Carpediem Voilà ce que je pense
a=E(m+r) ; b=E(n+s) Si a<b \Rightarrow E(m+r)<E(n+s) ou E(m+r)=E(n+s) donc m<n ou m=n
Mais comment continuer ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : croissance de la partie entiere 11-10-22 à 09:00

Dans 4), on suppose a b.

8) 9) 10) et 11) envisagent alors tous les cas.
Je les explicite :
8) b < E(a) + 1
9) b = E(a) + 1
10) et 11) b > E(a) +1

Dans 11), on a E(a) + 1 < E(b) ; donc E(a) < E(b).

Pour 12), on a démontré E(a) E(b) dans tous les cas où a b.

Par ailleurs, il y a des coquilles :
b < E(b) + 1 dans 7).
"donc E(a)+1 = E(b)" dans 10).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : croissance de la partie entiere 11-10-22 à 09:10

Pour la formule de carpediem, ce que tu as écrit est faux.
N'utilise pas LateX quand ce n'est pas utile ; c'est sans doute en l'utilisant sans faire "Aperçu" que tu as écrit des erreurs.

Posté par
pikobrahm
re : croissance de la partie entiere 11-10-22 à 11:57

Bonjour je vois un peu maintenant !
Maintenant comment pourrait-on procéder par contraposition ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : croissance de la partie entiere 11-10-22 à 14:18

Par contraposition :
Avec les notations de carpediem, m = E(a) et n = E(b).
m a < m+1 et n b < n+1.

Si E(a) > E(b) alors m > n.
Comme m et n sont des entiers, on a m n+1.
D'où a m n+1 > b.
Et c'est fini

Posté par
pikobrahm
re : croissance de la partie entiere 11-10-22 à 15:01

Bien vue   
je n'ai pas eu de difficulté avec cette méthode ; merci infiniment.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : croissance de la partie entiere 11-10-22 à 18:02

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
carpediem
re : croissance de la partie entiere 11-10-22 à 18:30

pikobrahm : ouais tu t'es mélangé les pinceaux à 23h12 !!

carpediem @ 10-10-2022 à 20:37

on peut simplement écrire :

a = m + r $ avec $ r \in [0, 1[
 \\ b = n + s $ avec $ s \in [0, 1[ m et n sont les parties entières de a et b

a \le b donc il y a deux cas m < n $ ou $ m = n
donc m = E(a) et n = E(b)

a \le b \Longrightarrow m + r \le n + s

or 0 \le r < 1 $ et $ 0 \le s < 1 donc deux cas :

dans le pire cas : m + r < m + 1 \le n + 0 \le m + s => m < n

dans le "meilleur" cas m + 0 \le n + 0 \iff m \le n qui conduit à m < n ou m = n


premier cas : m = n

alors a \le b \Longrightarrow r \le s mais bon on s'en fout un peu ...

l'important c'est que E(a) = E(B) \Longrightarrow E(a) \le E(b)

deuxième cas : m < n

alors m < n \iff E(a) < E(b)


dans tous les cas : a \le b \Longrightarrow E(a) \le E(b)

Posté par
pikobrahm
re : croissance de la partie entiere 13-10-22 à 00:53

Très clair ! Merci pour tout et à autre fois sur ilemaths.

Posté par
carpediem
re : croissance de la partie entiere 13-10-22 à 09:05

de rien



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