Bonjour,

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1000 est un cube

les chiffres inversés donnent 0001.
Les 0 (sans signe décimal) débutant un nombre ne doivent pas être pris en compte, donc il s'agit de 1 ... qui est un carré.

>candide2
Je n'ai pas jugé utile de retenir 1 ainsi  que toutes les puissances triples de 10 qui retombent sur 1 .
La recherche s'avère très difficile ;je n'ai pas consulté l'OEIS

Bonsoir,
j'ai regardé les deux millions de premiers cubes et aucun ne convient en dehors des puissances de 10.
Je crois qu'il n'y en a pas, sauf les cas triviaux, mais je n'ai pas d'idée pour une démonstration.
La fonction que j'ai utilisé, en python :

from math import isqrt
def convient(n):
    a=n*n*n
    b=int(str(a)[::-1]) # inverse le nombre en décimal
    return (b==isqrt(b)**2)

>verdurin

A priori il n'y a pas d'impossibilité qu'un tel nombre issu d'un cube avec écriture inversée de ses chiffres ne soit pas un carré.
L'expérience semble démontrer le contraire...

Comme je le redoutais j'ai demandé de rechercher :
c est un cube  
i son écriture inversée
r =i
R la racine la plus proche
on cherche r/ R  

pour c<10^15  j'ai trouvé

c=60 217 850 201 536 *-->i=63 510 205 871 206-->r=7 969 329.073 avec R=7 969 329 et r/R =0.999999991

plus loin 375 538  814  720 523*------->0.999999954 moins bon..

*39196³ et 72147³  

Le problème reste ouvert

Pour ceux qui veulent trouver.
Quels sont les critères qui privent l'écriture inversée des cubes de donner un carré entier ?
*On est sûrs que les cubes débutant  par 2,3,7,8 ne donneront pas
un carré ce qui en élimine presque 50 %.
*On ne trouve pas de cube débutant par 5   dont l'écriture inversée finissant  par 5 soit un carré .
Reste ceux débutant par 1,4;6;9

D'après  verdurin  qui en a testé 2 millions *il n'a a trouvé aucun.

*avec son programme et en ne gardant que ceux débutant par 1,4,6,9 il pourrait en tester 5 millions.

Bonsoir,
une remarque : le nombre inversé est congru au nombre de départ modulo 9 ( la somme des chiffres ne change pas ).
En regardant les cubes et les carrés modulo 9 on peut voir que si le cube retourné d'un nombre n est un carré alors n est un multiple de 3 ou n est congru à 1 modulo 9.  

On avance
Comme on conjecture que de tels nombres n'existent pas ,nous devons par divers cribles le prouver...ou pas.
,

Avant de laisser...
Peux t'on écrire?
"il n'y a aucun cube dont l'écriture inversée donne un carré entier"

Bonjour

Je ne me suis pas intéressé au problème mais j'aurais plutôt dit : L'écriture inversée du cube d'un entier non multiple de 10 n'est jamais le carré d'un entier .  Il y a peu de chance que le problème soit simple et l'idéal serait de trouver un contre-exemple . L'inversion des chiffres est complètement liée au système décimal alors que cubes et carrés font appel à l'algèbre élémentaire . Un problème peut-être plus simple serait de considérer les écritures en base 2 des entiers impairs avec la même problématique .

Imod

Une conjecture plus simple (?) avec la même idée : existe-t-il un entier dont la puissance six est un palindrome ?

Imod

>Imod

aucune chance sauf  pour 1

J'ai trouvé ceci qui semble assez proche:

Mais rien qui ne corresponde  exactement à ce problème.

J'ai testé jusqu'à 10^8 mais aucun autre cube que 1.

>Littefox
Comme je vois que tu as vu ce problème,(je parle de l'origine cube/carré); as-tu une idée de démonstration de la conjecture négative.
Avec verdurin nous avons déjà trouvé plusieurs critères...

Je ne sais pas et je n'aimerais sûrement pas remplir des tableaux avec des millions de lignes mais j'ai proposé le même problème en base 2 .  C'est vraiment hors sujet ou le problème n'est pas lié à la base de l'écriture ?

Les nouveaux outils informatiques calculent tellement vite qu'on oublie les bases : quand on est dépassé par un problème , on descend à l'étage en dessous  pour voir si on y arrive .

Imod

Tu veux dire :
soit l'écriture en binaire d'un cube ,existe-t-il un carré ayant une écriture binaire inversée.
5³=125--->1111101--->1011111<---95 qui n'est pas un carré

C'est exactement ça

Imod

Rien jusqu'à 10^15

En tout cas avec une base supérieure à 64 l'inversé du cube de 4 est lui même et c'est le carré de 8 . Je ne dis pas ça pour pourrir le problème mais pour montrer à quel point le problème est lié à la base . Ce problème me rappelle celui des nombres univers qu'on sait fabriquer à l'infini mais s'il faut prouver qu'un nombre donné est univers , c'est une autre paire de manche

Imod

Bonjour,

Je note X#nombre pour dire que j'écris "nombre" en base X. Je ne précise pas 10# pour la base 10.

3⁶ = 729 = 8#1331

8#1331 est un nombre qui vérifie la règle car c'est un cube, un carré et un palindrome.

Bonjour,
3^6 =729 ok =8#1331 ,ok =27³ ,ok  ,palindrome ,ok
mais n'est pas un carré à moins que tu veuilles revenir à729

Bonsoir

En base 10 :
729 = 3⁶ = 9³ = 27²

Si on réécrit ces égalités en base 8 on obtient :
1331= 3⁶ = 11³ = 33²
D'où (toujours en base 8):
1331 = 11³
et  1331 = 33²
C'est bien cela qui était recherché ?

Je n'ai pas bien compris 1331 =33²
je trouve env 36.48287

Bonsoir à tous,

dpi, je dis juste que, avec la notation que j'utilise ci-dessus:
* en base 8, le carré de 8#33 vaut 8#1331
* en base 8, le cube de 8#11 vaut 8#1331

Donc il existe un exemple qui vérifie la règle, en base 8 (pas en base 10).

Bien compris  :
ma confusion vient  de 729 =23²
et comme 729-->8#1331 ,j'ai bien vérifié que 8#33² fonctionne.